Введение в системный анализ и моделирование. Казиев В.М.
содержание о пособии ссылки
 

Лабораторный практикум 
для главы 4 

  Лабораторная работа №6. "Математическая модель"

Пример 1. Физиологическая система - система кровообращения человека, подчиняется законам термодинамики и описав эту систему на физическом (термодинамическом) языке получим физическую, термодинамическую модель физиологической системы. Если записать эти законы на математическом языке, например, выписать соответствующие термодинамические уравнения, то получим математическую модель системы кровообращения. Эту модель можно назвать физиолого-физико-математической моделью или физико-математической моделью.


Пример 2. Закон Ньютона F=am является простейшей моделью физической системы из тела массой m двигающейся по поверхности с ускорением a, и на которую действует сила F. При описании этой системы (построении этой модели) приняты следующие гипотезы: поверхность идеальна (т.е. коэффициент трения равен нулю), находится в вакууме (т.е. сопротивление воздуха равно нулю), масса тела неизменна, тело двигается с одинаковым постоянным ускорением в любой точке.


Пример 3. Модели бывают эмпирические - на основе эмпирических фактов, зависимостей, например, модель вида y=0.03*x-9.089, где коэффициенты получены эмпирическим путём; теоретические - на основе математических описаний, например, уравнение Бернулли и смешанные, полуэмпирические - использующие эмпирические зависимости и математические описания.


Пример 4. Применим операцию линеаризации к модели у=at2/2, 0<=t<=4, которая является нелинейной (квадратичной). Для этого заменим один из множителей t на его среднее значение на рассматриваемом промежутке, т.е. на t=2. Такая (достаточно грубая) процедура линеаризации даёт уже линейную модель вида y=2at.


Пример 5. Применим операцию идентификации параметра a в модели предыдущего примера. Для этого необходимо задать дополнительно значение y при некотором t, например, y=6 при t=3. Тогда из модели получаем: 6=9a/2, a=12/9=4/3. Идентифицированный параметр а определяет следующую модель y=2t2/3.


Задачи для самостоятельного решения
  1. Привести пример одной-двух моделей, указать тип, возможности, приложения. Укажите гипотезы, при которых построены эти модели.
  2. Применить процедуру линеаризации и идентификации к одной-двум моделям (более сложным, чем приведённые выше). Придумать одну-две оригинальные процедуры (приемы) линеаризации и идентификации.
  3. Указать основные этапы моделирования систем.
  4. По приведенным ниже моделям:
    • выписать соответствующую дискретную модель (если непрерывная модель приведена ниже) или непрерывную модель (если ниже приведена дискретная модель);
    • указать входные и выходные данные (множества), определить тип модели;
    • исследовать, в соответствии с поставленной целью, модель (получить решение, проверить его единственность, устойчивость, наличие стационарного состояния и т.д.).

    4.1. Модель популяции в условиях сбора урожая.
    Рассмотрим популяцию рыб, из которой в текущий момент времен изымается часть популяции ("сбор урожая"). Модель имеет вид: xi+1=xi+аxi-kxi, х0=c, где k - коэффициент сбора урожая (скорость изъятия особей). Стоимость одной рыбы равна b руб. Цель моделирования: а) прогноз прибыли от лова рыбы; б) прогноз прибыли от лова рыбы при заданной квоте вылова.
    4.2. Модель роста банковского капитала (сбережения).
    Пусть в банк внесен денежный вклад х0 руб. в момент времени t=0. Предположим, что процент за год составляет а руб. Тогда на следующий год сумма вклада будет равна хi=х0+ах0. Повторяя итерации, получим на год номер i вклад равный хi=хi-1+ахi-1. Чтобы не допускать беспредельного обогащения клиентов обычно вводится корректировка процента, который уменьшается пропорционально росту х, т.е. ai+1=ai(1-хi/хmax), где хmax - максимально допускаемый уровень обогащения, a0 - процент в начале. Тогда счет в банке изменяется по закону: xi+1=1+a0(1-хi/хmax)хi. Цель моделирования: а) прогноз роста вклада; б) идентификация хmax и прогноз вклада; в) рассмотреть стратегию увеличения максимального уровня пропорционально росту вклада клиента, например, таким правилом: xmax[i]=(1+x[i]/xmax[i-1])xmax[i-1]; г) рассмотреть стратегию увеличения максимального уровня не пропорционально росту вклада.
    4.3. Модель влияния факторов роста на урожайность.
    Пусть ymax - максимально возможная (наблюдавшаяся) урожайность некоторой сельхозкультуры, y(x(t)) - действительно получаемый урожай к моменту времени t, k - коэффициент использования фактора x роста урожая (влажность почвы, минеральное питание, свет и т.п.), y=y(x), x - доля фактора роста, например, при орошении, x=x(t). Тогда можно записать следующую модель роста урожайности y(t) в зависимости от фактора роста x(t), yi=y(xi), xi=x(ti): yi+1=yi+k(ymax-yi), y(0)=y0 - заданное начальное значение урожая. Цель моделирования: а) прогноз урожайности в зависимости от фактора роста; в) идентификация k.
    4.4. Модель классификатора.
    Имеется n социально-экономических объектов, каждый из которых обладает m свойствами. Необходимо сгруппировать объекты в группы, объединяя в одну группу все похожие между собой объекты. Через xij обозначим значение j-го свойства i-го объекта. Два объекта i, j похожи и заносятся в группу номер l, 1<=l<=s, если выполнено:

    где s и rl задаются. Цель моделирования - классификация тех или иных реальных социально-экономических объектов.
    4.5. Модель обслуживания в очереди.
    Имеется некоторая очередь на обслуживание (на АЗС, на станции "Скорой помощи" и т.д.) из n объектов (субъектов). В течение единицы времени поступает a вызовов в среднем. Средняя длительность обслуживания одного вызова равна b, среднее время ожидания в очереди равно T=b/(c(n-ab)), где n>ab и c=1+ab+(ab)2/2!+(ab)3/3!+...+(ab)n-1/(n-1)!+(ab)n/((n-1)!(n-ab)). Цель моделирования: а) прогнозирование среднего времени ожидания, б) нахождение удельной загрузки обслуживающего по формуле d=(ab)/n.
    4.6. Модель эпидемии в населенном пункте.
    В изолированном поселке с населением m человек наблюдается эпидемия болезни, описываемая соотношенями
    xi+1=xi-bxiyi, x0=A,
    yi+1=yi-cyi+bxiyi, y0=B,
    zi+1=xi+cyi, z0=C,
    где xi, yi, zi - число здоровых, больных и невосприимчивых (переболевших) в дискретные моменты времени i=0, 1, 2, ..., n; b - частота контактов больных и здоровых; c - величина, обратная среднему времени выздоровления. Имеется набор лекарств Lj, j=1, 2, …, i, пригодных для лечения к моменту времени i. Эффективность Lj характеризуется величиной 0j<1. Если в некоторый момент времени yi<1 моделирование завершается, если при i=k величина yi станет больше y* - задаваемого практического уровня больных, то по желанию пользователя модели осуществляется либо "изоляция" больных - последовательными умножениями b на задаваемый параметр 0j<1 находится такое b для которого в промежутке от k до n уже не достигается y*, либо "экстренная терапия" - подбирается наиболее эффективное Lp для которого в промежутке [k;n] не достигается y*. Цель моделирования: а) прогноз x, y, z для каждого i=1, 2,..., n и при необходимости проведение "экстренной терапии" или "изоляции" больных с построением графиков по xi, yi, zi, i=0, 1,2,..., n.
    4.7. Модель контроля партии товаров.
    Имеется партия из n единиц товара одного вида. Выбирается для контроля m единиц. Для того, чтобы вся партия была забракована достаточно обнаружить в этих m выбранных товарах k бракованных. Задается некоторое число q. Заметим, что n>0, 0<m<n, 0<q<1. Число бракованных в рассматриваемой партии товаров генерируется датчиком случайных чисел по формуле z=(n-m)rnd. Вероятность забраковки партии товара вычисляется по формуле: P=(CzkCn-zm-k)/Cnm, Czk=z!/(k!(z-k)!), Cn-zm-k=(n-z)!/((m-k)!*(n+k-n-m)!); Cnm=n!/(m!*(n-m)!). Величина P вычисляется при заданных n и m, начальное значение k=k0. Если вычисленное P<q, то m последовательно уменьшается до тех пор, пока неравенство будет выполняться. Цель моделирования - прогноз надёжности партии в зависимости от количества товаров.
    4.8. Модель эволюции популяции при естественном отборе.
    Популяцию рассматривают в качестве структурной единицы вида и единицы эволюции. Каждая популяция характеризуется определенной численностью (частотой, процентом или долей) особей с тем или иным признаком, ее изменениями во времени. В природе происходит постоянное колебание численности популяций: число особей то сокращается, то увеличивается. Неравномерность распределения особей одного вида в ареале обитания связана с колебаниями урожаев кормов, климатических условий: влажности, температуры, освещенности, возрастным и половым составом особей, интенсивностью их размножения и продолжительностью жизни. К факторам эволюции, помимо естественного отбора - процесса, в результате которого выживают и оставляют после себя потомство преимущественно особи с полезными в данных условиях признаками, относится также изоляция, т.е. возникновение различных преград к свободному скрещиванию особей. Перечисленные факторы повышают или понижают частоту различных генотипов в популяции и значительно усложняют зависимости в уравнении эволюции. Сокращение численности за некоторые пределы может привести к вымиранию генотипов популяции или к стационарности плотности особей. Пусть популяция состоит из трёх генотипов с частотами x, y, z. Будем считать, что действует только естественный отбор и вероятности доживания особей до репродуктивного возраста каждого генотипа определяются, соответственно, как a, b, c. Уравнения эволюции:
    xi+1=xi+xi(a-axi-byi-czi), x0=d;
    yi+1=yi+yi(a-axi-byi-czi), y0=e;
    zi+1=zi+zi(a-axi-byi-czi), z0=m;
    Вероятности a, b, c, d, e, m можно задавать, вычислять или генерировать датчиком случайных чисел. Цель моделирования: а) вычисление численности генотипов в каждый момент времени; б) определение, происходит ли вымирание особей каждого генотипа или же возникает ли момент, когда численность особей каждого генотипа становится стационарной; г) определение вероятности доживания особей до репродуктивного возраста.
    4.9. Модель "хищник-жертва".
    Известна классическая динамическая модель В.Вольтерра системы типа "хищник-жертва" являеющейся моделью типа "ресурс-потребление". Рассмотрим клеточно-автоматную модель такой системы. Алгоритм поведения клеточного автомата, моделирующего систему типа "хищник-жертва", состоит из следующих этапов.
    1. Задаются начальные распределения хищников и жертв, случайно или детерминированно.
    2. Определяются законы "соседства" особей (правила взаимоотношений) клеток, например, "соседями" клетки с индексами (i,j) считаются клетки (i-1,j), (i,j+1), (i+1,j), (i,j-1).
    3. Задаются законы рождаемости и смертности клеток, например, если у клетки меньше двух (больше трёх) соседей она отмирает "от одиночества" ("от перенаселения").
    Цель моделирования: определение эволюции следующего поколения хищников и жертв, т.е. используя заданные законы соседства и динамики дискретного развития (время изменяется дискретно) определяются число новых особей (клеток) и число умерших (погибших) особей; если достигнута заданная конфигурация клеток или развитие привело к исчезновению вида (циклическому состоянию), то моделирование заканчивается.
    4.10. Модель процессора ЭВМ.
    Пусть A - операционный, B - управляющий автоматы. Автомат A - модель арифметического устройства, B - модель устройства управления ЭВМ, т.е. совокупность (A,B) - модель процессора ЭВМ. Автомат A может выполнять операцию занесения числа в регистры R1 - первого и в R2 - второго операндов, а также сложить содержимое регистров R1, R2 и результат поместить в регистр (сумматор) R3. Автомат B может выполнить команды: сравнить содержимое двух регистров и перейти к выполнению команды номер n при условии совпадения (несовпадения) содержимого этих регистров; извлекать из памяти (модели памяти) числа или команды. Цель моделирования - выполнение (моделирование выполнения) некоторой программы на операндами и регистрами.
    4.11. Модель словообразования.
    Пусть B - множество производящих основ существительных, C - множество суффиксов, P - множество прилагательных, "+" - операция конкатенации слов, ":=" - операция присваивания, "=>" - операция вывода (выводимости новых слов), Z - множество значений (смысловых) прилагательных. Модель M словообразования: <zi><=<pi>:=<bi>+<si>. Цель моделирования - используя базы данных (словари) генерировать словосочетания указанного типа.
    4.12. Модель стекового калькулятора.
    Заданы числовой - xi, i=0, 1, ..., n и символьный - yi, i=0, 1,..., m массивы X и Y. Составить модель стекового калькулятора, который позволяет осуществлять операции:
    1. циклический сдвиг вправо массива X или Y и запись заданного числа в x0 или символа операции - y0 (в "верхушку стека" X(Y)) т.е. выполнение операции "вталкивание в стек";
    2. считывание "верхушки стека" и последующий циклический сдвиг влево массива X или Y - операция "выталкивания из стека";
    3. обмен местами x0 и x1 или y0 и y1;
    4. "раздваивание верхушки стека", т.е. получение копии x0 или y0 в x1 или y1;
    5. считывание "верхушки стека" Y (знака +, -, * или /), затем расшифровка этой операции, считыавние операндов операций с "верхушки" X, выполнение этой операции и помещение результата в "верхушку" X.
    4.13. Модель боевых сражений.
    Пусть между регулярными войсками двух противников в момент времени i=0,1,...,n боевые действия описываются соотношениями:
    xi+1=xi-a1xi - b1yi, x0=a,
    yi+1=yi-a2xi - b2yi, y0=b,
    где a1, a2 - коэффициентов потерь, не связанных непосредственно с бое-выми действиями, b1, b2 - потери, связанные с боевыми действиями, x0, y0 - начальные численности войск. Цель моделирования: прогнозирование потерь численного состава войска при боевых действиях при условии, что: а) подкреплений нет в любой момент времени; б) подкрепления поступают по некоторому б1) правилу, б2) закону или б3) случайно.
    4.14. Модель трофических связей в экосистеме.
    Имеется популяция n "хищников" и популяция m "жертв". Задаётся трофтическая структура популяции. Цель моделирования - а) для любой жертвы определение опасных для нее хищников; б) группировка в одну группу всех хищников, питающихся одними и теми же жертвами ("трофическое множество"); в) выяснение, если в этой экосистеме случае "самоедства", т.е. случаи поедания представителя одного вида другим представителем этого же вида.
    4.15. Модель кассира (кассы) магазина.
    В кассе магазина имеются определенные количества купюр и монет каждого достоинства ()не исключая и нулевые их количества). Покупатель покупает определённое количества товаров определённого числа различных товаров. Цель моделирования - выдача покупателю сдачи за все покупки с уплаченной им суммы.
    4.16. Модель вероятностного (стохастического) автомата.
    Рассмотрим матрицу А размером NxM с целочисленными элементами aij=1 или aij=0. Будем отождествлять aij c лампочкой, которая горит (aij=1) или не горит (aij=0). В момент времени t+1 лампочка aij горит, если в момент времени t горят все соседние лампочки (ai-1,j=ai+1,j=ai,j-1=ai,j+1=1). Если хотя бы одна из них не горит, то лампочка aij горит с вероятностью 0<p<1 и не горит с вероятностью 0<=1-p<=1. Число р - задаётся или генерируется. Цель моделирования: а) определить в любой момент времени горящие лампочки; б) задание новой стратегии горения лампочек.
    4.17. Модель распространения органических веществ в реке.
    Концентрация вещества, поступающего в реку со стоком, изменяется в результате действия рассеивания, адвекции, реакции. Концентрация хi вещества в реке зависит только от расстояния i, i=0, 1,..., n по течению реки и определяется по формуле: ab(xi+1-2xi+xi+1)-c(xi-xi-1)-daxi=0, где а - площадь поперечного поперечного сечения реки, b - коэффициент рассеивания по течению реки, с - полный объёмный расход реки, d - скорость разложения органического вещества. Эти величины a, b, c, d считаются пока постоянными. Общий поток вещества определяется: N=cxi-ab(xi+1-xi). Цель моделирования - прогноз загрязнения реки (для каждого i).
    4.18. Модель обслуживания в очереди (без штрафа).
    Имеется некоторая очередь (покупателей в магазине, автолюбителей на АЗС и т.д.) из n участников. Время Тi обслуживания i-го участника генерируется датчиком случайных чисел. Время пребывания (ожидания) в очереди i-го участника не больше Wi=Tii(a-b)r, где a, b - некоторые задаваемые параметры, r - случайное число. Приоритетность обслуживания задаётся по правилу: j-ый приоритет - участнику i, у которого Wi стоит на j-ом месте в упорядоченном ряду чисел Wi (по убыванию). Цель моделирования: а) составление графика обслуживания всей очереди и определение времени обслуживания всей очереди; б) определения стратегии постановки в очередь и убытия из очереди.
    4.19. Модель обслуживания в очереди (со щтрафом).
    К условиям предыдущей задачи дополнительно задаем систему штрафов: за каждую единицу времени обслуживания, превышающую Wi - штрафной балл Рi. Приоритетность обслуживания выбирается таким образом, что сумма штрафов для всей очереди была бы минимальна. Цель моделирования - как в предыдущей задаче.
    4.20. Модель банка данных пациентов больницы.
    Составить программу, которая формирует банк данных пациентов больницы на дисках, по каждому пациенту заносятся данные: Ф.И.О., год рождения, место работы, номер медицинской карты, шифр диска, где хранятся данные медицинских обследований пациента, а также другие необходимые сведения (группа тяжести, наблюдения, приоритета обслуживания и т.д.). Цель моделирования: а) обеспечение поиска больных и данных к ним; б) обеспечение операции с банком (удаление, добавление, перегруппировка данных); в) формирование статистических отчетов (средний возраст больных группы, наиболее типовые характеристики группы, тенденции развития болезни, например, с помощью линейного регрессионного анализа и т.д.).
    4.21. Модель шифратора арифметических выражений.
    В ответ на вводимый пользователем текст, соответствующий некоторому арифметическому выражению, который может содержать встроенные функции (вложенность функций не допускается) выдаёт само арифметическое выражение, например, для "синус плюс косинус на логарифм" выдаёт "sin(x)+cos(x)*log(x)". Цель моделирования - разработать анализатор выражений.
    4.22. Модель дешифратора арифметических выражений.
    Составить программу, которая в ответ на вводимое пользователем произвольное арифметическое выражение языка программирования, составленное из встроенных функций (вложенность функции не допускается) выдаёт расшифровку этого выражения, например, для "sin(x)+cos(x)*log(x)" выдаёт "синус плюс косинус на логарифм". Цель моделирования - разработать анализатор выражений.
    4.23. Фрактальная модель Мандельброта.
    Бенуа Мандельброт предложил красивую модель фрактала, которая уже стала классической. Математическое описание модели: на комплексной плоскости z=x+yi в некотором интервале для произвольно изменяемой точки с=a+bi вычисляется рекурсивная функция z=z2+c. Начальное значение z берётся равное нулю. После n повторений процедуры вычисления координат точек, на комплексной плоскости появляется красивая фигура, напоминающая грушу. Если формула фрактала имеет, например, вид z=z2+z+c, то начальная точка находится из условий: 2*z+1=0, начальное z=-1/2. Если менять не c, а z, то получаем другую модель называемую моделью Джулии. Цель моделирования: построить соответствующие фракталы Мандельброта и Джулии и сравнить их.



Лабораторная работа №7. "Компьютерная модель"

Пример 1. Упрощенный жизненный цикл компьютерной модели:
  1. сбор информации, выдвижение гипотез и анализ системы;
  2. проектирование структуры и состава модели, разработка модели;
  3. исследование модели: метод, алгоритма (программы) моделирования;
  4. исследование адекватности, устойчивости модели;
  5. установление причинно-следственных связей в исследуемой системе;
  6. модификация модели, возврат к системе с новыми знаниями.
Прибором эксперимента при этом является компьютер (и модель!).


Пример 2. Рассмотрим несложную компьютерную модель. Некоторые этапы жизненного цикла будем для удобства объединять.

Этап 1. Содержательная постановка задачи

Современное производство характеризуется тем, что некоторая часть производимой продукции (в стоимостном выражении) возвращается в виде инвестиций (т.е. части конечной продукции, используемой для создания основных фондов производства) в производство. При этом время возврата, ввода в оборот новых фондов может быть различной для различного рода производства. Необходимо промоделировать данную эту ситуацию и выявить динамику изменения величины основных фондов производства (капитала).

Сложность и многообразие, слабая структурированность и плохая формализуемость основных экономических механизмов, определяющих работу предприятий не позволяют преобразовать процедуры принятия решений в экономической системе в полностью эффективные математические модели и алгоритмы прогнозирования. Поэтому часто эффективно использование простых, но гибких и надёжных процедур принятия решения.

Рассмотрим одну такую простую модель. Эта модель будет полезна для прогноза событий и связанных с ними социально-экономических процессов.

Этап 2. Формулировка гипотез, построение, исследование модели

Динамика изменения величины капитала определяется, в основном, в нашей модели, простыми процессами производства и описывается так называемыми обобщенными коэффициентами амортизации (расхода фондов) и потока инвестиций (часть конечного продукта, используемого в единицу времени для создания основных фондов). Эти коэффициенты - относительные величины (за единицу времени). Необходимо разработать и исследовать модель динамики основных фондов. Считаем при этом допустимость определённых гипотез, определяющих систему производства.

Пусть x(t) - величина основных фондов (капитала) в момент времени t, где 0<=t<=N. Через промежуток времени t она будет равна x(t+t). Абсолютный прирост равен x=x(t+t)-x(t). Относительный прирост будет равен x=[x(t+t)-x(t)]/t.

Примем следующие гипотезы:

  1. социально-экономические условия производства достаточно хорошие и способствуют росту производства, а поток инвестиций задается в виде известной функции y(t);
  2. коэффициент амортизации фондов считается неизменным и равным m и при достаточно малом t изменение основных фондов прямо пропорционально текущей величине капитала, т.е. x=y(t)-mx(t).

Считая t->0, а также учитывая определение производной, получим из предыдущего соотношения следующее математическое выражение закона изменения величины капитала - математическую модель (уравнение) динамики капитала:

x'(t)=y(t)-mx(t), x(0)=х0, (1)

где х(0) - начальное значение капитала в момент времени t=0.

Эта простейшая модель не отражает того факта, что социально-экономические ресурсы производства таковы, что между выделением инвестиций и их введением и использованием в выпуске новой продукции проходит некоторое время - лаг. Учитывая это можно записать модель (1):

x'(t)=y(t-T)-mx(t), x(0)=х0.

Этой непрерывной, дифференциальной, динамической модели можно поставить в соответствие простую дискретную модель:
хi+1=хi+yj-mхi, x0=с, i=0,1,2,...,n, 0<j<n, (2)

где n - предельное значение момента времени при моделировании.

Эта дискретная модель получается из непрерывной при t=1, а также заменой производной x'(t) на относительное приращение t (замена, как это следует из определения производной, справедлива при малых t).

Более точная компьютерная модель будет получена, если воспользоваться не схемой Эйлера (как в (2)), а схемой, например, Рунге-Кутта.


Этап 3. Построение алгоритма и программы моделирования

Рассмотрим для простоты режим моделирования когда m, c, y - известны и постоянны, а также рассмотрим наиболее простой алгоритм моделирования в укрупнённых шагах.

  1. Ввод входных данных для моделирования:
    с=х(0) - начальный капитал;
    n - конечное время моделирования;
    m - коэффициент амортизации;
    s - единица измерения времени;
    y - инвестиции.
  2. Вычисление xi от i=1 до i=n по рекуррентной формуле (2).
  3. Поиск стационарного состояния - такого момента времени j, 0<=j<=n, начиная с которого все хj, хj+1,..., хn постоянны или изменяются на малую допустимую величину E>0.
  4. Выдача результатов моделирования и, по желанию пользователя, графика. Программа для имитационного моделирования не приводится (простая).

Этап 4. Проведение вычислительных экспериментов

Эксперимент 1. Поток инвестиций постоянный и в каждый момент времени равен 111. В начальный момент капитал - 1000 руб. Коэффициент амортизации - 0.0025. Построить модель динамики (посуточно) и найти величину основных фондов через 50 суток, если лаг равен 10 суток.

Эксперимент 2. Основные фонды в момент времени t=0 была равны 50000. Через какое время общая их сумма превысит 1200000 руб., если поток инвестиций постоянный и равен 200, а m=0.02, T=5?


Этап 5. Модификация (развитие) модели

Для модели динамики фондов с переменным законом потока инвестиций:

а)
построить гипотезы, модель и алгоритм моделирования;
б)
сформулировать планы вычислительных экспериментов по модели;
в)
реализовать алгоритм и планы экспериментов на ЭВМ.


Задачи для самостоятельного решения
  1. По каждой из приведенных в лабораторной работе N5 "Математическая модель" моделей 4.1-4.23:
    • сформулировать планов вычислительных экспериментов (компьютерных экспериментов) по модели;
    • модифицировать модель или разработать на ее основе новую;
    • сформулировать несколько реальных систем, описываемых моделью;
    • реализовать эти или же модифицированные Вами модели на ЭВМ и провести вычислительные эксперименты по этим компьютерным моделям;
    • получить причинно-следственные связи по результатам проведенных вычислительных экспериментов и затем на их основе уточнить эти модели.
 
   
Copyright © 2001, В.М. Казиев 
Веб-мастер: Артур Балкаров 
Дизайн: Феликс Джегутанов 

Разрешается использование в некоммерческом образовании.
Учреждениям коммерческого использования - разрешается только с письменного разрешения автора.