3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
3.2. Понятие о методе конечных разностей
Для численного решения дифференциального уравнения с
частными производными обычно применяют метод конечных разностей или метод
сеток. Он позволяет свести решение дифференциального уравнения к решению
системы алгебраических уравнений.
Метод
сеток состоит в следующем:
1)
область непрерывного изменения аргументов заменяют областью их дискретного
изменения;
2)
непрерывные производные заменяют разностными отношениями;
3)
для краевых и начальных условий записывают разностный аналог.
Таким образом, сетка представляет собой множество
точек. Отдельные точки называются узлами сетки. Функция, определяемая в узлах
сетки, называется сеточной функцией.
Рассмотрим примеры сеток.
1.
Равномерная сетка на отрезке [а, в].
Разобьем
отрезок на n равных частей и получим систему
точек x0, x1, x2,…,x n такую
что:
x1-x0 = x2-x1
= …x i + 1 – x i =…= x n – x n - 1 = h
Непрерывная
функция y(x) заменяется
сеточной функцией y h( x i ),
определяемой в узлах сетки и зависимой от шага h как от параметра.
2. Равномерная сетка на
плоскости.
Разобьем отрезок [0, x max] на n равных частей и получим систему точек x0, x1,…,x n ,
где h1 = x max/n .Отрезок [0, y
max] разделим на m равных частей
точками y0, y1,…,y m с шагом h2 = ymax /
m .
Через точки x i проведем линии, параллельные оси x. Искомая функция U(x,y) заменяется сеточной функцией
и зависят от
параметров h1 и h2.
3.2.1. Конечные разности.
-правая разностная производная,
- левая разностная производная;
- центральная разностная производная.
Левая
и правая конечные разности аппроксимируют производную с первым порядком
точности, а центральная разностная производная – со вторым порядком точности.
Конечно
– разностная производная второго порядка имеет вид:
При замене частных производных
разностными отношениями применяется аналогичный подход:
и т. д.