2. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. 3. Метод хорд

Пусть на отрезке [a, b] функция f(x) непрерывна, принимает на концах отрезка значение разных знаков, а производная f ’(x) сохраняет знак. В зависимости от знака второй производной возможны следующие случаи расположения кривых (рис. 2.7., 2.8):

1.f(a)<0, f(b)>0, f ‘(x)>0 – функция возрастает:

а) f ’’(x)>0 (кривая вогнута вниз)	б) f ’’(x)<0 (кривая вогнута вверх)

Рис. 2.7

2.f(a)>0, f(b)<0, f ‘(x)<0 – функция убывает:

а) f ’’(x)>0 (кривая вогнута вниз)	б) f ’’(x)<0 (кривая вогнута вверх)

Рис. 2.8

Рассмотрим случай, когда f ’(x) и f ’’(x) имеют одинаковые знаки (рис. 2.9.).

3. f(a)<0, f(b)>0, f ‘(x)>0 – функция возрастает

а) f ’’(x)>0 (кривая вогнута вниз) б) f ’’(x)<0 (кривая вогнута вверх)

	f(a)<0, f(b)>0 f ‘(x)>0, f ’’(x)>0
Рис. 2.9

График функции проходит через точки A₀(a, f(a)) и B(b, f(b)). Искомый корень уравнения (точка ξ) нам известен, вместо него возьмем точку x₁ пересечения хорды A₀B с осью абсцисс это и будет приближенное значение корня.

Уравнение хорды A₀B:

Найдем значение x = x₁, для которого y = 0 :

Теперь корень находится на отрезке [x₁, b]. Применим метод хорд к этому отрезку. Проведем хорду, соединяющую точки A₁(x₁, f(x₁)) и B и найдем точку x₂ – точку пересечения хорды A₁B с осью ox

Продолжая этот процесс, находим:

	и т.д.
		(2.2)

В этом случае конец b отрезка [a, b] остается неподвижным, а конец a перемещается.

Формула (2.2) носит название формулы метода хорд. Вычисление по формуле (2.2) продолжаем до тех пор, пока не достигнем заданной точности, т.е. должно выполняться условие:

где - заданная погрешность.

Теперь рассмотрим случай, когда первая и вторая производные имеют разные знаки, т.е. f ‘(x) f ’’(x)<0 (рис. 2.10).

Рис. 2.10

Соединим точки A(a, f(a)) и B₀(b, f(b)) хордой AB₀. Точку пересечения хорды AB₀ с осью ox будем считать первым приближением корня. В этом случае, очевидно, неподвижным концом отрезка будет являться конец a.

Запишем уравнение хорды AB₀:

Отсюда найдем x₁, полагая y = 0:

Теперь корень следующий:

Применяя метод хорд к отрезку, получим

(2.3)

Условие окончания вычислений:

Итак, если f ‘(x) f ’’(x)>0 приближенное значение корня находят по формуле (2.2), если f ‘(x) · f ’’(x)<0, то по формуле (2.3).

Практически выбор той или иной формулы осуществляют, пользуясь следующим правилом: неподвижным концом отрезка является тот, для которого знак функции совпадает со знаком второй производной.