1. Приближенное решение нелинейных уравнений

Пусть дано уравнение с одним неизвестным

, (1.1)

где f(x) - заданная алгебраическая или трансцендентная функция.

Функция называется алгебраической, если для получения её значения нужно выполнить арифметические операции и возведение в степень с рациональным показателем. Примеры трансцендентных функций - показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.

Решить уравнение - значит найти все его корни, то есть те значения х, которые обращают уравнение в тождество, или доказать, что корней нет.

В общем случае не существует формул, по которым определяются точные значения корней уравнения (1.1). Для отыскания корней используют приближенные методы, при этом корни находятся с некоторой заданной точностью ε. Это означает, что если x - точное значение корня уравнения, а x’- его приближенное значение с точностью ε, то |x - x’| ≤ ε. Если корень найден с точностью ε, то принято писать x = x ± ε.

Будем предполагать, что уравнение (1.1) имеет лишь изолированные корни, то есть для каждого корня существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.

Приближенное решение уравнения состоит из двух этапов:

1. Отделение корней, то есть нахождение интервалов из области определения функции f(x), в каждом из которых содержится только один корень уравнения (1).

2. Уточнение корней до заданной точности.

Отделение корней можно проводить графически и аналитически.

Для того, чтобы графически отделить корни уравнения (1.1), строят график функции y = f(x). Абсциссы точек его пересечения с осью Ox есть действительные корни уравнения (рис. 1). Практически бывает удобнее заменить уравнение (1.1) равносильным ему уравнением

, (1.2)

где Φ(x) и Ψ(x) - более простые функции, чем f(x). Абсциссы точек пересечения графиков функций y = Φ(x) и y = Ψ(x) дают корни уравнения (1.2), а значит и исходного уравнения (1.1) (рис.2).

Аналитическое отделение корней основано на следующей теореме: если непрерывная на отрезке [a, b] функция y = f(x) принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е. f(a)·f(b) < 0, то внутри этого отрезка находится хотя бы один корень уравнения f(x) = 0; если при этом производная f’(x) сохраняет знак внутри отрезка [a, b], то корень является единственным.

Уточнение корней заключается в сужении интервала изоляции корня и выполняется одним из специальных методов. Рассмотрим самый простой из них - метод половинного деления.

Пусть корень отделён и принадлежит отрезку [a, b]. Находим середину отрезка [a, b] по формуле

Если f(c) = 0, то с - искомый корень. Если f(c) ≠ 0, то в качестве нового отрезка изоляции корня [a₁, b₁] выбираем ту половину [a, c] или [c, b], на концах которой f(x) принимает значения разных знаков. Другими словами, если f(a) ∙ f(c) < 0, то корень принадлежит отрезку [a, c], если f(a) ∙ f(c) < 0 - отрезку [c, b]. Полученный отрезок снова делим пополам, находим c₁,

вычисляем f(c₁), выбираем отрезок [a₂, b₂] и т.д. Длина каждого нового отрезка вдвое меньше длины предыдущего, то есть за n шагов отрезок сократится в 2ⁿ раз. Как только будет выполнено условие

то в качестве приближенного значения корня, вычисленного с точностью ε, можно взять

Пример. Пусть требуется решить уравнение

с точностью ε = 0,0001. Отделим корень графически. Для этого преобразуем уравнение к виду

и построим графики функций (рис. 4):

Из рисунка видно, что абсцисса точки пересечения этих графиков принадлежит отрезку [0; 1].

Подтвердим аналитически правильность нахождения отрезка изоляции корня. Для отрезка [0; 1] имеем:

. Следовательно, корень отделён правильно.

Уточнение корня выполним методом половинного деления.

Первый шаг.

Корень принадлежит отрезку

Второй шаг.

Корень принадлежит отрезку

Третий шаг.

Корень принадлежит отрезку

Сведём результаты вычислений в таблицу.

Таблица 1
a	b	|b-a|	c	f(a)	f(c)	f(a) ∙ f(c)
0	1	1	0.5	0.5	-0.57436	<0
0	0.5	0.5	0.25	0.5	-0.07951	<0
0	0.25	0.25	0.125	0.5	0.19905	>0
0.125	0.25	0.125

Дальнейшие вычисления проведём с помощью программы.

program equation; {Решение уравнения методом половинного деления}

uses crt;

var

a,b: real; { Концы отрезка }

c: real; { Середина отрезка }

e: real; { Точность }

function f(x: real): real;

begin

f: = sqr(x-1) - 0.5*exp(x); { Функция f(x) }

end;

begin

writeln (' Введите концы отрезка : ');

write (' a = '); readln ( a );

write (' b = '); readln( b );

write (' Введите точность e = '); readln ( e );

writeln(' Результат : ');

while abs ( b - a ) > 2*e do

begin

c: = ( a + b ) / 2;

if f( c ) = 0 then

begin

writeln( ' c = ' , c : 8 : 6 , ' f( c ) = ' , f( c ) : 8 : 6 );

readln ;

exit ;

end;

if f(a) * f(c) < 0 then b: = c else a: = c;

end;

c: = ( a + b ) / 2;

writeln( ' c = ' , c : 8 : 6, 'f( c ) = ' , f( c ) : 8 : 6 );

readln;

end.

Были введены следующие значения: a = 0, b = 1, e = 0.0001.Получены результаты: с = 0.213287; f (c) = 0.000047.

Ответ: Корень уравнения равен 0,2133 ± 0,0001.

Задания. Найти корень уравнения (если корней несколько, взять наименьший положительный) с точностью 0,0001.

Таблица 2
№ варианта	Уравнение	№ варианта	Уравнение
0		5
1		6
2		7
3		8
4		9