Решение.

В этой игре партнер 1 имеет три возможные стратегии: a1, a2, a3 , а партнер 2 – четыре возможные стратегии b1, b2, b3, b4. Рассмотрим процесс принятия игроками решения (предполагается, что они принимают в данной ситуации рациональные решения). Взглянув на таблицу, можно заметить, что если игрок 1 не знает, как поступит его противник, то действуя наиболее целесообразно и, считая, что противник будет действовать подобным же образом, он выберет стратегию a2, которая гарантирует ему наибольший из трех возможных наименьших выигрышей: 9, 13, 8. Другими словами, игрок 1 руководствуется принципом максиминного выигрыша. Этот выигрыш a = max min aij . есть нижняя цена игры. Для нашего примера a=13.

Две конкурирующие крупные торговые фирмы F1 и F2, планируют построить в одном из четырех небольших городов G1, G2, G3, и G4, лежащих вдоль автомагистрали, по одному универсаму. Взаимное расположение городов, расстояние между ними и численность населения показаны на следующей схеме:

Доход, получаемый каждой фирмой, определяется численностью населения городов, а также степенью удаленности универсамов от места жительства потенциальных покупателей. Специально проведенное исследование показало, что доход универсамов будет распределяться между фирмами так, как это показано в следующей таблице:

Например, если универсам фирмы F1 расположен от города G1 ближе универсама фирмы F2, то доход фирм от покупок, сделанных жителями данного города, распределится следующим образом: 75% получит F1, остальное – F2.

а) Представьте описанную ситуацию, как игру двух лиц;

б) В каких городах фирмам целесообразно построить свои универсамы?

Решение.

Составим платежную матрицу игры, в которой игроком 1 будет фирма F1, а игроком 2 фирма F2. Стратегии обоих игроков: строить свой универсам в городе G1, строить в городе G2 и т.д. Элементы матрицы - объемы дохода фирмы F1 (в тыс.), которые, как предполагается, пропорциональны (причем с одним и тем же коэффициентом) числу покупателей. Величина указанного коэффициента пропорциональности, с точки зрения выбора оптимального места размещения универсамов, значения не имеет, поэтому примем его равным единице.

Платежная матрица имеет вид:

Рассмотрим примеры расчета значений элементов (G1,G2) и (G3,G4) матрицы.

Каждый игрок показывает один или два пальца и называет число пальцев, которое, по его мнению, показал его противник (ни один из игроков не видит, какое число пальцев на самом деле показывает его противник). Если один из игроков угадывает правильно, он выигрывает сумму, равную сумме числа пальцев, показанных им и его противником. В противном случае (если никто не угадывает), - ничья. Если оба угадали, то оба платят друг другу одинаковую сумму, в результате – ничья (0).

Вопросы.

Решение.

Прежде всего, определим стратегии игроков и построим платежную матрицу.

Стратегиями игрока 1 (строки таблицы) являются четыре пары чисел. Первое число каждой пары – это число пальцев, показанное им, второе – число пальцев, которое, как он предполагает, показал его противник. Такие же стратегии имеет игрок 2.

Нижняя цена игры a= - 2, верхняя цена игры b= 2, поэтому седловой точки не существует и решение в чистых стратегиях отсутствует. Для решения данной игры построим соответствующую задачу линейного программирования. Для этого сначала преобразуем платежную матрицу таким образом, чтобы все ее элементы были положительными. Максимальная по абсолютной величине величина неположительного элемента платежной матрицы равна 4, поэтому к матрице достаточно прибавить число 5. Получим

Оптимальная стратегия игрока 1 находится решением следующей задачи линейного программирования (см. (1)):

x1+ x2+ x3 + x4 ® min

5x1 + 3x2 + 8x3 + 5x4 і 1

7x1 + 5x2 + 5x3 + 2x4 і 1

xi і 0 , (i=1,..., 4)

Используя пакет POM for WINDOWS, исходную информацию для решения этой задачи можно представить в виде следующей таблицы: