Модели

Существует проблема классификации имеющихся в наличии запасов. Для решения этой задачи используется методика административного наблюдения. Цель ее заключается в определении той части запасов фирмы, которая требует наибольшего внимания со стороны отдела снабжения. Для этого каждый компонент запасов рассматривается по двум параметрам:

доля в общем количестве запасов фирмы;

доля в общей стоимости запасов предприятия.

Методика 20/80. В соответствии с этой методикой компоненты запаса, составляющие 20% его общего количества и 80% его общей стоимости, должны отслеживаться отделом снабжения более внимательно.

Методика АВС. В рамках этой методики запасы, имеющиеся в распоряжении предприятия разделяются на три группы:

группа А: 10% общего количества запасов и 65% его стоимости;

группа В: 25% общего количества запасов и 25% его стоимости;

группа С: 65% общего количества запасов и около 10% его стоимости .

Именно наименьшая по объему и наиболее ценная часть запасов может стать предметом особого контроля и математического моделирования.

Необходимо отметить, что классификация запасов может быть основана не только на показателях доли в общей стоимости и в общем количестве. Некоторые виды запасов могут быть причислены к более высокому классу на основании таких характеристик, как специфика поставок, проблемы качества и т.д. Преимущества методики деления видов запасов на классы заключается в возможности выбора порядка контроля и управления для каждого из них. Если в ходе классификации мы основывались на методе АВС анализа, имеет смысл обратить внимание на следующие моменты политики управления запасами.

1). Виды запасов класса А требуют более внимательного и частого проведения инвентаризации состояния запасов, правильность учета запасов этой группы должна подтверждаться чаще.

2). Планирование и прогнозирование, касающееся запасов класса А, должно характеризоваться большей степенью точности, нежели относящееся к запасам группы В и С.

3). Для категории А нужно стараться создать страховой запас, чтобы избежать больших расходов, связанных с отсутствием запасов этой группы.

4). Методы и приемы управления запасами, рассматривающиеся далее, должны прежде всего применяться к запасам групп А и B. Что касается запасов группы С, обычно момент возобновления заказа по ним определяют исходя из конкретных условий, а не на основе количественного метода, чтобы свести до минимума расходы на их контроль.

Рассмотрим определяющие понятия теории управления запасами.

Издержки выполнения заказа ( издержки заказа) — накладные расходы, связанные с оформлением заказа. В промышленном производстве такими издержками являются затраты на переналадку оборудования и подготовительные операции.

Издержки хранения — расходы, связанные с физическим содержанием товаров на складе, плюс возможные проценты на капитал, вложенный в запасы. Обычно они выражаются или в абсолютных единицах или в процентах от закупочной цены и связываются с определенным промежутком времени.

Упущенная прибыль (издержки дефицита) — издержки, связанные с неудовлетворенным спросом, возникающем в результате отсутствия продукта на складе.

Совокупные издержки за период представляют собой сумму издержек заказа, издержек хранения и упущенной прибыли. Иногда к ним прибавляются издержки на закупку товара.

Срок выполнения заказа — время с момента заказа до момента его выполнения.

Точка восстановления запаса — уровень запаса, при котором делается новый заказ.

Детерминированные модели

I. Простейшая модель M1 оптимального размера заказа.

Предпосылки:

1) Темп спроса на товар известен и постоянен.

2) Получение заказа мгновенно.

3) Закупочная цена не зависит от размера заказа.

4) Не допускается дефицит.

Исходные данные: темп спроса, издержки заказа и хранения.

Результат: оптимальный размер заказа, время между заказами, количество заказов за фиксированный период времени, совокупные издержки.

Размер заказа является постоянным. Заказ выполняется мгновенно. Уровень запасов убывает с постоянной интенсивностью, пока не достигает нулевого значения. В этот момент времени делается, мгновенно выполняется и поступает заказ, размер которого равен Q и уровень запаса восстанавливается до максимального значения. При этом оптимальным решением задачи будет тот размер заказа Q*, при котором минимизируются общие издержки за период, равные сумме издержек хранения и издержек заказа.

Динамика изменения количества продукта на складе показана на следующем рисунке.

 

 

 

 

 

 

Пусть Q — размер заказа;

T — протяженность периода планирования;

D — величина спроса за период планирования;

d — величина спроса в единицу времени;

K — издержки заказа;

H — удельные издержки хранения за период;

h — удельные издержки хранения в единицу времени.

Тогда

— издержки заказа;

— издержки хранения;

— совокупные издержки.

Кривые издержек заказа, издержек хранения и совокупных издержек указаны на следующем рис. 2.

 

 

 

 

 

 

 

— оптимальный размер заказа;

— оптимальное число заказов за период;

— время цикла ( оптимальное время между заказами).

Следует обратить внимание на то, что оптимальный размер заказа не зависит от цены продукта.

 

II.Модель M2 оптимального размера заказа с фиксированным временем его выполнения.

Предпосылки:

1) Темп спроса на товар известен и постоянен.

2) Время выполнения заказа известно и постоянно.

3) Закупочная цена не зависит от размера заказа.

4) Не допускается дефицит.

Исходные данные: темп спроса, издержки заказа и хранения, время выполнения заказа.

Результат: оптимальный размер заказа, время между заказами, точка восстановления запаса, количество заказов за фиксированный период времени, совокупные издержки.

Размер заказа является постоянным. Время выполнения заказа постоянно. Уровень запасов убывает с постоянной интенсивностью, пока не достигает точки восстановления R.

Точка восстановления — запас продукта, при котором нужно сделать очередной заказ. В этот момент времени делается заказ, который выполняется за время L. К моменту поступления заказа размер запаса на складе равен нулю. Оптимальным решением задачи будет тот размер заказа Q*, при котором минимизируются общие издержки за период, равные сумме издержек хранения и издержек заказа.

 

 

 

 

 

 

Динамика изменения количества продукта на складе показана на рис.3. Горизонтальной линией указано количество продукта, равное точке восстановления.

Пусть Q — размер заказа;

T — протяженность периода планирования;

D — величина спроса за период планирования;

d — величина спроса в единицу времени;

K — издержки заказа;

H — удельные издержки хранения за период;

h — удельные издержки хранения в единицу времени.

L — время выполнения заказа.

Тогда

— издержки заказа;

— издержки хранения;

— совокупные издержки.

— оптимальный размер заказа;

— точка восстановления;

— оптимальное число заказов за период;

— время цикла ( оптимальное время между заказами).

Кривые издержек заказа, издержек хранения и совокупных издержек указаны на рис. 2.

III. Модель M3 с производством.

Предпосылки:

1) Темп спроса на товар известен и постоянен.

2) Темп производства товара известен и постоянен.

3) Время выполнения заказа известно и постоянно.

4) Закупочная цена не зависит от размера заказа.

5) Не допускается дефицит.

Исходные данные: темп спроса, темп производства, издержки заказа, издержки хранения, время выполнения заказа.

Результат: оптимальный размер заказа, время между заказами, точка восстановления запаса.

Фирма производит продукт самостоятельно, хранит его на складе и расходует с постоянным темпом. Если темп производства выше темпа спроса, то излишки продукта накапливаются на складе. Когда количество продукта на складе достигает максимального значения, производство прекращается и продукт расходуется со склада с постоянным темпом. Когда запас на складе достигает точки восстановления, производство возобновляется. При этом оптимальным решением задачи будет тот размер заказа Q*, при котором минимизируются общие издержки за период, равные сумме издержек хранения и издержек на возобновление производства.

Динамика изменения количества продукта на складе показана на следующем рис.4.

 

 

 

 

 

 

Пусть Q — размер заказа;

p — темп производства;

T — протяженность периода планирования;

D — величина спроса за период планирования;

d — величина спроса в единицу времени;

K — фиксированные издержки на запуск производства.

H — удельные издержки хранения за период;

h — удельные издержки хранения в единицу времени.

L — время, необходимое для запуска производства.

Тогда

— издержки на запуск производства;

— издержки хранения;

— оптимальный размер заказа;

— максимальный уровень запасов;

— точка восстановления;

— оптимальное число заказов за период;

— время цикла ( оптимальное время между заказами).

В этой модели оптимальный размер заказа также не зависит от цены продукта.

Модель M4 оптимального размера заказа с дефицитом.

Предпосылки:

1) Темп спроса на товар известен и постоянен.

2) Время выполнения заказа известно и постоянно.

3) Закупочная цена не зависит от размера заказа.

Исходные данные: темп спроса, издержки заказа, издержки хранения, издержки дефицита.

Результат: оптимальный размер заказа, время между заказами, точка восстановления запаса, количество заказов за фиксированный период времени, совокупные издержки.

Размер заказа является постоянным. Уровень запасов убывает с постоянной интенсивностью. Допускается дефицит продукта. После получения заказа фирма компенсирует дефицит и восстанавливает запас продукта на складе. Заказ делается тогда, когда дефицит продукта на складе достигает оптимального размера. Оптимальным решением задачи будет такой размер заказа Q*, при котором минимизируются общие издержки за период, равные сумме издержек хранения и издержек заказа.

Динамика изменения количества продукта на складе показана на следующем рис. 5.

 

 

 

 

 

 

Пусть Q — размер заказа;

T — протяженность периода планирования;

D — величина спроса за период планирования;

d — величина спроса в единицу времени;

K — издержки заказа;

H — удельные издержки хранения за период;

h — удельные издержки хранения в единицу времени.

B — упущенная прибыль за период, возникающая в результате дефицита одной единицы продукта;

S —запас за единицу времени;

b — упущенная прибыль в единицу времени, возникающая в результате дефицита одной единицы продукта.

Тогда

— издержки заказа;

— издержки хранения;

— издержки дефицита;

— совокупные издержки.

— оптимальный размер заказа;

— максимальный размер запаса;

— максимальный дефицит.

— точка восстановления.

Модель M5 с количественными скидками.

Предпосылки:

1) Темп спроса на товар известен и постоянен.

2) Время выполнения заказа известно и постоянно.

Исходные данные: темп спроса, издержки заказа, издержки хранения, цена товара, количественные скидки в случае закупки крупных партий товара.

Результат: оптимальный размер заказа, время между заказами, точка восстановления запаса, количество заказов за фиксированный период времени, совокупные издержки.

Пусть Q — размер заказа;

T — протяженность периода планирования;

D — величина спроса за период планирования;

d — величина спроса в единицу времени;

K — издержки заказа;

H — удельные издержки хранения за период;

h — удельные издержки хранения в единицу времени.

Предположим, что известны числа ci , ai , i=1,…,n, где ci — цена продукта при размере заказа Q в интервале ai-1 =< Q < ai.

Тогда

— издержки заказа;

— издержки хранения;

— издержки на закупку товара.

Тогда оптимальный размер заказа определяется в результате решения n задач. Каждая из этих задач сводится к определению такого размера заказа Qi , i=1,…,n, при котором функция совокупных издержекдостигает минимума при ограничениях ai-1 =< Q < ai. Решение исходной задачи определяется из условия      

 

 

 

 

 

 

 

 

На рис. 6 изображены функции совокупных издержек для трех значений цен продукта. Значение цены c1 определено на интервале 0 =< Q < a1,

значение цены c2 определено на интервале a1 =< Q < a2,

значение цены c3 определено на полуинтервале a2 =< Q.

Соответственно, функция общих издержек  определена при значении цены c1 на интервале 0 =< Q < a1,

функция общих издержек определена при значении цены на интервале a1 =< Q < a2,

функция общих издержек iопределена при значении цены на полуинтервале a2 =< Q.

Минимальное значение функции в области ее допустимых значений достигается в точке a1.

Минимальное значение функции в области ее допустимых значений достигается в точке Q2.

Минимальное значение функции в области ее допустимых значений достигается в точке a3.

Оптимальный размер заказа следует выбирать из величин Q1, a1, a2 по формуле

.

Стохастическая модель

VI. Дискретная стохастическая модель M6.

Мы отказываемся от предположения о постоянстве и детерминированности величины спроса на товар и предполагаем известным распределение величины спроса.

Пусть S — размер запаса;

T — протяженность периода планирования;

D — величина спроса за период планирования (целое число);

H — удельные издержки хранения за период;

B — удельные издержки дефицита за период;

p(D) — вероятность того, что величина спроса за период планирования составит D,

— функция распределения величины спроса:

В случае, когда величина спроса за период планирования превышает размер запаса, возникает дефицит и соответствующие издержки дефицита. Если заказ больше, чем величина спроса, то возникают издержки хранения. Математическое ожидание  величины издержек хранения за период планирования для величины запаса можно оценить следующим образом.

Математическое ожидание C2(S) величины издержек дефицита за период планирования для величины заказа Q можно оценить следующим образом.

Математическое ожидание C(S) совокупных издержек в этом случае имеет вид

.

В стохастической модели оптимальным является такой размер заказа S*, при котором математическое ожидание совокупных издержек C(S*) имеет минимальное значение.

Оптимальным является такой размер заказа S*, который удовлетворяет условию:

.

Если ,   то и оптимальными являются как размер заказа S*, так и размер заказа S*+1.