Задачи.

Задача 1 (5 баллов).

Задача 1. Компания Шустрова обслуживает и сдает в наем квартиры в большом жилом комплексе. Иван Шустров хотел бы оценить предполагаемые затраты на замену компрессоров для кондиционирования воздуха. Он хотел бы определить число компрессоров, выходящих из строя ежегодно в течении 20 лет. Используя данные по аналогичному жилому комплексу, которым его компания владеет в другом городе, Шустров получил относительные частоты выхода компрессоров из строя:

Число компрессоров, вышедших из строя

Вероятность (относительная частота)

0

0.06

1

0.13

2

0.25

3

0.28

4

0.20

5

0.07

6

0.01

Он решил провести имитационный эксперимент, используя двузначные случайные числа, начиная с числа 37 второй строки таблицы случайных чисел.

Вопросы

Вопрос 1    Найдутся ли последовательно три года, в каждом из которых из строя выйдут два компрессора?
Вопрос 2    Найдутся ли последовательно три года, в каждом из которых из строя выйдет один компрессор?

 

Задача 2 ( 10 баллов).

Количество машин, приезжающих на автомойку Марка Беззаботного в течении последних 200 часов ее работы приведено в следующей таблице:

Число машин, прибывающих каждый час

Частота

3 и менее

0

4

20

5

30

6

50

7

60

8

40

9 и более

0

Итого

200

а) Постройте распределение вероятностей и интегральное распределение вероятностей для количества прибывающих машин.

б) Определите для этой переменной интервалы случайных чисел.

в) Проимитируйте прибытие машин в течении 15 часов работы мойки и определите среднее число машин в час.

Выберите необходимые для имитации случайные числа из четвертой строки таблицы случайных чисел, начиная со значения 69.

Вопросы

Вопрос 1    Сколько машин приедет в первый час?
Вопрос 2    Сколько машин в среднем прибывает в час?

 

Задача 3 ( 10 баллов).

Груженые баржи, отправляемые вниз по Волге из индустриальных центров к вечеру достигают Астрахани. Число барж, ежедневно входящих в док, колеблется от 0 до 5. Вероятность прихода 0, 1,...,5 барж показана в таблице.

Число барж

Вероятность

0

0.13

1

0.17

2

0.15

3

0.25

4

0.20

5

0.10

Количество разгружаемых барж и соответствующие вероятности указаны в таблице

Ежедневный темп разгрузки

Вероятность

1

0.03

2

0.12

3

0.40

4

0.28

5

0.12

6

0.05

Проимитируйте 15 дней работы порта и определите среднее число простаивающих барж; среднее число барж, приходящих ежедневно; среднее число барж, разгружаемых ежедневно. Используйте для генерирования числа прибывающих барж случайные числа с начала первой строки таблицы случайных чисел, а для генерирования числа разгруженных барж — с начала второй строки этой таблицы.

Вопросы

Вопрос 1    Сколько в среднем барж простаивает в день?
Вопрос 2    Сколько в среднем барж приходит ежедневно?
Вопрос 3    Сколько в среднем барж разгружается ежедневно?

Задача  4 ( 10 баллов).

Центральный травматологический пункт в Москве имеет шесть отделений:

1) приемное отделение, в котором может быть оказана неотложная помощь и ставится диагноз,

2) рентгеновское отделение

3) операционное отделение

4) отделение протезирования

5) диагностическое отделение (где проводятся обследования для уточнения диагноза)

6) отделение выписки (оформление больничных документов и оплаты).

Вероятности перехода пациента из одного отделения в другое указаны в таблице:

Из отделения

В отделение

Вероятность

Приемное

Рентген

0.45

 

Операционное

0.15

 

Диагностическое

0.10

 

Выписка

0.30

Рентгеновское

Операционное

0.10

 

Протезирования

0.25

 

Диагностика

0.35

 

Выписка

0.30

Протезирование

Диагностическое

0.55

 

Рентгеновское

0.05

 

Выписка

0.4

Диагностическое

Операционное

0.15

 

Рентгеновское

0.15

 

Выписка

0.70

Операционное

Протезирование

0.25

 

Диагностическое

0.70

 

Выписка

0.05

Проимитируйте передвижение в травматологическом пункте для 10 пациентов. Рассматривайте одного пациента в течение всего времени с момента, когда он поступает в приемное отделение и до момента, когда он выписывается. Вам следует учитывать, что пациент может попадать в одно и то же отделение более, чем один раз. Используйте для генерирования переходов случайные числа из пятой строки таблицы случайных чисел.

Вопросы

Вопрос 1    Сколько раз (максимум) один пациент посетит рентгеновское отделение?
Вопрос 2    Сколько раз в среднем один пациент посетит отделение протезирования?

 

Задача 5 ( 15 баллов)

Штаб военно-воздушной дивизии использует большое число компьютерных графопостроителей. Работа графопостроителя заключается в нанесении на лист бумаги линий в различных направлениях до тех пор, пока не будет сделан весь рисунок. В графопостроителе используется 4 пера различных цветов. Каждое из перьев может выйти из строя. В этом случае выходит из строя весь графопостроитель и требуется замена соответствующего пера. В штабе замена вышедшего из строя пера производится каждый раз тогда, когда перо выходит из строя. Инженер, обслуживающий графопостроители, предложил при выходе из строя одного пера проводить замену сразу всех четырех перьев. Это должно уменьшить число выходов из строя графопостроителей. Требуется один час на замену одного пера и два часа на замену всех четырех перьев. Стоимость простоя графопостроителя в течение часа 50000 тыс. руб. Каждое перо стоит 8000 тыс. руб. Если производится замена только одного пера, то время, проходящее между выходами графопостроителя из строя, распределяется следующим образом:

Время между двумя выходами из строя при замене одного пера, час.

Вероятность

10

0.05

20

0.15

30

0.15

40

0.20

50

0.20

60

0.15

70

0.10

Если проводить замену всех четырех перьев, то время между двумя поломками распределяется следующим образом:

Время между двумя поломками

Вероятность

100

0.15

110

0.25

120

0.35

130

0.20

140

0.05

Проимитируйте две различные стратегии и определите лучшую. Используйте для генерирования поломок случайные числа с начала четвертой строки таблицы случайных чисел. Проведите десять испытаний.

Вопросы

Вопрос 1    Следует ли заменять сразу все четыре пера?
Вопрос 2   Какую экономию обеспечивает лучшая стратегия по сравнению с альтернативной в течение месяца непрерывной работы графопостроителя (в тыс. руб.)?

 

Задача 6 (10 баллов)

Доктор Елена Прекрасная имеет зубоврачебную практику в Москве. Елена составляет расписание своего приема для того, чтобы пациентам не пришлось долго ожидать. В таблице приведено расписание на 20 мая:

Пациент

Время, назначенное пациентами

Предполагаемое время обслуживания

Иванов

9:30

15

Новиков

9:45

20

Грачев

10:15

15

Васильева

10:30

10

Сычев

10:45

30

Галеев

11:15

15

Гринев

11:30

20

Лапин

11:45

15

К сожалению, не все пациенты приходят точно к назначенному времени. К тому же время обслуживания тоже нельзя указать точно. Опыт Елены указывает на то, что

а) 20% пациентов придут на 20 мин. раньше,

б) 10% придут на 10 минут раньше,

в) 40% придут вовремя,

г) 25% придут на 10 минут позже,

д) 5% придут на 20 минут позже.

Кроме того,

а) в 15% случаях на обслуживание понадобится на 20% меньше времени, чем указано,

б) в 50% случаях — столько, сколько указано,

в) в 25% понадобится на 20% больше времени,

г) в 10% понадобится на 40% больше времени.

Доктор Елена Прекрасная хотела бы закончить прием 20 мая в 12:15 для того, чтобы вылететь в Минск на конференцию стоматологов. 20 мая Елена готова начать прием в 9:30. Пациенты обслуживаются в порядке, указанном в расписании. (Даже если один пациент приходит раньше, чем назначенный на прием перед ним).

Используйте для генерирования времени прихода и обслуживания пациентов случайные числа с начала первой строки таблицы случайных чисел.

Вопросы

Вопрос 1    На сколько позже желательного срока закончится прием(в мин.)?
Вопрос 2 Скольким пациентам, пришедшим вовремя, придется ожидать приема?

Задача 7 (10 баллов)

Магазин Петушкова поддерживает на складе запас 30-ведерных водонагревателей для владельцев индивидуальных домов. Хозяин магазина хотел бы иметь под рукой максимальный запас водонагревателей, чтобы удовлетворить любой спрос. Однако он понимает, что это невыгодно из-за высокой стоимости их хранения. Он проследил за объемами продаж водонагревателей за последние 50 недель и отметил следующее:

Объем продаж водонагревателей

Число недель, в которые был реализован этот объем продаж

4

6

5

5

6

9

7

12

8

8

9

7

10

3

Итого

50

Используйте для имитации случайные числа из седьмой строки таблицы случайных чисел, начиная со значения 10.

Вопросы

Вопрос 1    Если Петушков будет иметь еженедельный запас в 8 нагревателей, то сколько раз за 20 недель ему не хватит этого запаса для удовлетворения спроса?
Вопрос 2    Сколько в среднем нагревателей продается  за 20 недель?

 

Задача 8 (10 баллов)

Петушков (см. задачу 7) уточнил данные о продаже электронагревателей проведя учет за 100 недель и построил следующее распределение объема продаж в неделю.

Число электронагревателей, проданных за неделю

Число недель, в которые наблюдался объем продаж

3

2

4

5

5

10

6

15

7

25

8

21

9

12

10

10

Итого

100

Используйте для имитации случайные числа из шестой строки таблицы случайных чисел.

Вопросы

Вопрос 1    Чему равен объем упущенных реализаций за 20 недель, если еженедельный запас электронагревателей равен 8?
Вопрос 2    Чему равно среднее число продаж в неделю?

 

Задача 9 (10 баллов)

Маша Кондратьева, аспирантка МГУ, испытывает некоторые проблемы с личным бюджетом. Ее доход складывается из стипендии и зарплаты за реферативные статьи. Распределение уровня ее доходов показано в таблице:

Месячный доход

Вероятность

350000

0.4

400000

0.2

450000

0.3

500000

0.1

Предполагается, что доход поступает на ее счет и учитывается в начале следующего месяца. Расходы Маши также меняются от месяца к месяцу и подчиняются следующему распределению вероятностей:

Расходы

Вероятность

300000

0.10

400000

0.45

500000

0.30

6000000

0.15

В начале текущего года обучения на ее счету было 600000. Проимитируйте текущий год (12 месяцев) и оцените финансовое положение Маши. Предполагается, что реальные расходы Маши не могут превышать суммы на счете. Используйте для имитации случайные числа с начала шестой строки таблицы случайных чисел.

Вопросы

Вопрос 1    Сколько месяцев из 12 Маша будет испытывать дефицит бюджета?
Вопрос 2 Какая сумма денег останется на счету у Маши в конце текущего года?

Задача 10 (10 баллов)

Даша Василькова - менеджер салона фирмы Мерседес-Бенц в Москве. В последние 100 месяцев объем продаж колеблется от 6 до 12 новых автомобилей. Частоты различных объемов продаж показаны в таблице.

Объем продаж в месяц

Частота, месяц

6

8

7

11

8

17

9

33

10

25

11

3

12

3

Итого

100

 

Даша считает, что продажа будет идти в тех же объемах еще 24 месяца. Время выполнения заказа на поставки распределяется следующим образом:

Время поставок, месяцы

Вероятность

1

0.44

2

0.33

3

0.16

4

0.07

Итого

1.00

Даша Василькова каждый раз заказывает 21 автомобилей ( 3трейлера по 7 автомобилей в каждом) и делает новый заказ, когда запас в магазине снижается до 12 автомобилей. Новый заказ можно делать только после выполнения предыдущего. Проимитируйте эту стратегию в течение 24 месяцев. Используйте для имитации случайные числа с начала второй строки таблицы случайных чисел. Считайте, что

а) начальный запас составляет 28 автомобилей,

б) затраты на хранение одной автомашины составляют в месяц 600000 руб.,

в) одна упущенная продажа приносит убыток в среднем 4350000 руб,

г) один заказ обходится в 570000 руб.

Вопросы

Вопрос 1    Сколько заказов придется сделать за два года?
Вопрос 2    С какими издержками связана данная стратегия (в тыс. руб.)?

 

Задача 11 (10 баллов)

 

Фирма ВЕСТА - производитель промышленных моечных машин. Одной из комплектующих деталей в производственном процессе является стальной лист размером 8 на 10 дм. Сталь поставляется на контрактной основе компанией «Урал-сталь», причем еженедельный объем поставок может составлять 8000 или 11000 квадратных дм : 45% шансов на то, что объем поставок составит 8000 кв. дм , и 55% шансов на то, что 11000. Затраты стали у ВЕСТЫ изменяются во времени. Распределение величины потребности в стали указано в следующей таблице:

 

Недельный спрос, кв. дм

Вероятность

6000

0.05

7000

0.15

8000

0.20

9000

0.30

10000

0.20

11000

0.10

 

Фирма ВЕСТА может хранить на складе не более 25000 кв. дм стали единовременно.

Проимитируйте заказы на сталь и ее использование в течение 20 недель. Начните первую неделю с нулевого запаса на складе. Если запас на конец недели окажется отрицательным, то восполните необходимую разницу из следующего заказа. Используйте для имитации случайные числа из третьей строки таблицы случайных чисел.

Вопросы

Вопрос 1    Требуются ли фирме ВЕСТА дополнительные складские помещения?
Вопрос 2    Какое количество стали (в тыс. кв. дм) будет на складе в конце 20-й недели?