Примеры

Пример 1. Сочинский винзавод производит две марки сухого вина: "Черный лекарь" и "Букет роз". Оптовые цены, по которым реализуется готовая продукция соответственно 68 и 57 руб. за 1 литр. Ингредиентами для приготовления этих вин являются белое, розовое и красное сухие вина, закупаемые в Краснодаре. Эти вина стоят соответственно 70, 50 и 40 руб. за 1 литр. В среднем на сочинский винзавод поставляется ежедневно 2000 литров белого, 2500 литров розового и 1200 литров красного вина. В вине "Черный лекарь" должно содержаться не меньше, чем 60% белого вина и не больше чем 20% красного. Вино "Букет роз" должно содержать не больше чем 60% красного и не меньше чем 15% белого. Определите рецепты смешения ингредиентов для производства вин "Черный лекарь" и "Букет роз", обеспечивающие заводу максимальную прибыль.

1. Какую максимальную прибыль можно получить за 1 день?

2. Сколько вина "Черный лекарь" следует производить ежедневно?

3. Сколько процентов белого вина должен содержать "Черный лекарь"?

4. Сколько вина "Букет роз" следует производить ежедневно?

5. Сколько процентов розового вина должен содержать "Букет роз"?

6. На сколько возрастет прибыль винзавода, если поставки розового вина удастся увеличить до 1300 литров в день?

7. На сколько уменьшится прибыль винзавода, если поставки белого вина сократятся до 1800 литров?

Решение.

Пусть xjk - количество j -го ингредиента, j = 1,2,3, входящего в k –ую смесь, , k = 1,2. Например, x23 – количество красного вина, ежедневно используемого для приготовления вина "Букет роз". Тогда модель оптимального смешения имеет следующий вид.

Критерий максимизации прибыли.

(68-70) xjx11 + (68-50) xjx12 + (68-40) xjx13+ (57-70) xjx21 + (57-50) xjx22 + (57-40) xjx 23 ® max

Ограничения на поставки ингредиентов.

x11 + x21 Ј 2000

x12 +x22 Ј 2500

x13 + x23 Ј 1200.

Ограничения, отражающие условия на содержания ингредиентов с смеси.

x11 і 0.6 ( x11 + x12 + x13)

x13 Ј 0.2 ( x11 + x12 + x13)

x23 Ј 0. 6 (x21 + x22 + x23)

x21 і 0.15 (x21 + x22 + x23).

Последняя группа ограничений может быть преобразована следующим образом.

- 0.4 x11 + 0.6 x12 + 0.6x13 Ј 0

- 0.2 x11 - 0.2 x12 + 0.8 x13 Ј 0

- 0.6 x21 - 0.6 x22 + 0.4x23 Ј 0

-0.85 x21 +0.15 x22 +0.15 x23. Ј 0.

Кроме того, следует учесть ограничения на неотрицательность переменных.

Используя пакет POM for WINDOWS, исходную информацию для решения этой задачи можно представить в виде следующей таблицы.

  X11 X12 X12 X21 X21 X23   RHS
Maximize -2 18 28 -13 7 17
Constraint 1 1 0 0 1 0 0 <= 2000
Constraint 2 0 1 0 0 1 0 <= 2500
Constraint 3 0 0 1 0 0 1 <= 1200
Constraint 4 -0,4 0,6 0,6 0 0 0 <= 0
Constraint 5 -0,2 -0,2 0,8 0 0 0 <= 0
Constraint 6 0 0 0 -0,6 -0,6 0,4 <= 0
Constraint 7 0 0 0 -0,85 0,15 0,15 <= 0

Решая эту задачу, получаем следующий результат.

Maximize -2 18 28 -13 7 17
Constraint 1 1 0 0 1 0 0 <= 2000 7,8
Constraint 2 0 1 0 0 1 0 <= 2500 3,3
Constraint 3 0 0 1 0 0 1 <= 1200 13,3
Constraint 4 -0,4 0,6 0,6 0 0 0 <= 0 24,4
Constraint 5 -0,2 -0,2 0,8 0 0 0 <= 0 0
Constraint 6 0 0 0 -0,6 -0,6 0,4 <= 0 0
Constraint 7 0 0 0 -0,85 0,15 0,15 <= 0 24,4
Sol-> 1526,7 1017,8 0 473,3 1482,2 1200 <= 39 888,9  

В следующей таблице содержится дополнительная информация о границах устойчивости решения по правым частям ограничений.

Constraint Dual Value Slack/Surplus Original Val Lower Bound Upper Bound
Constraint 1 7.8 0 2000 652,9 3300
Constraint 2 3.3 0 2500 1633,3 10133,3
Constraint 3 13.3 0 1200 0 4666,7
Constraint 4 24.4 0 0 -538,8 520,0001
Constraint 5 0 508,9 0 -508,9 Infinity
Constraint 6 0 693,3 0 -693,3 Infinity
Constraint 7 24.4 0 0 -1145 4

Таким образом, максимальная ежедневная прибыль винзавода достигает 39 888.9 руб. При этом производится 1526.7 +1017.8 = 2544.5 литров вина "Черный лекарь" и

473,3 + 1482,2 + 1200 = 3155.5 литров вина "Букет роз".

Поставляемые ингредиенты используются полностью.

Процент белого вина в вине "Черный лекарь" составляет (1526.7 / 2544.5) = 0.6.

Процент розового вина в вине "Букет роз" (1482,2 / 3155.5) = 0.47.

Если поставки розового вина удастся увеличить до 1300 литров в день, то с учетом значения двойственной оценки 13.3 ограничения на объем поставок розового вина определяем, что прибыль увеличится на 13.3* 100 = 1330 руб. Заметим, что объем поставок остается в границах устойчивости решения.

Если поставки белого вина удастся сократятся до 1800 литров в день, то с учетом значения двойственной оценки 7.8 ограничения на объем поставок белого вина определяем, что прибыль уменьшится на 7.8* 200 = 1560 руб. Заметим, что объем поставок белого вина остается в границах устойчивости решения.

Ответы на вопросы.

1. Максимальная прибыль составляет 39889.9 руб.

2. Ежедневно следует производить 2544.5 литров вина "Черный лекарь".

3. Вино "Черный лекарь" должно содержать 60% белого вина

4. Ежедневно следует производить 3155.5 литров вина "Букет роз".

5. Вино "Букет роз" должно содержать 47% розового вина.

6. Если поставки розового вина удастся увеличить до 1300 литров в день, то прибыль винзавода увеличится на1330 руб.

7. Если поставки белого вина сократятся до 1800 литров в день, то прибыль винзавода уменьшится на1560 руб.