Преподаватель Бобкова В.А.

I. ВВЕДЕНИЕ

ЦЕЛЬ ДИСЦИПЛИНЫ - дать студентам базовые представления о случайных событиях и случайных величинах, о способах вычисления их вероятностей, о методах систематизации и обработки статистических данных.

Требования к знаниям и умениям по завершению изучения дисциплины

Студент должен:

• иметь представление: о случайных событиях, случайных величинах, системах случайных величин, способах их задания, об основных распределениях случайных величин, о случайных процессах, о методах систематизации и обработки статистических данных.
• знать и уметь использовать: понятия и методы теории вероятностей и математической статистики в своей профессиональной деятельности.
• владеть: основными приемами вычисления вероятностей случайных событий, случайных величин и систем случайных величин.
• иметь опыт: практических расчетов вероятностей случайных событий, случайных величин и систем случайных величин, числовых характеристик, статистических оценок параметров распределения.

Период прохождения курса (2 курс, 3 семестр, зачет)

II. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Лекционный материал (38 часов):

1.       Лекция 1. Предмет теории вероятностей. Примеры теоретико-вероятностных задач. Виды случайных событий. Случайные события как подмножества множества простейших исходов. Основные понятия алгебры событий.

2.       Лекция 2. Классическая вероятностная схема. Свойства вероятности. Статистическая и геометрические вероятности. Основные формулы комбинаторики.

3.       Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Полная группа событий. Противоположные события.

4.       Лекция 3. Теорема умножения вероятностей. Вероятность  появления хотя бы одного события. Теорема сложения вероятностей совместных событий. Система гипотез. Формула полной вероятности.  Формулы Байеса.

5.       Лекция 4. Определение, примеры, виды, способы задания случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Функция распределения вероятностей и ее свойства. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее свойства.

6.       Лекция 5. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, - и их свойства. Начальные и центральные моменты. Асимметрия. Эксцесс.

7.       Лекция 6. Основные распределения дискретных случайных величин: биномиальное распределение, распределение Пуассона, геометрическое и гипергеометрическое распределения, - и их характеристики. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

8.       Лекция 7. Основные распределения непрерывных случайных величин: равномерное, показательное, нормальное, - и их характеристики. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал. Вычисление вероятности заданного отклонения. Правило трех сигм.

9.       Лекция 8. Понятие о системе нескольких случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины. Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства.

10.   Лекция 9. Плотность распределения вероятностей двумерной непрерывной случайной величины и её свойства. Функция и плотность распределения n-мерной случайной величины. Условные законы распределения составляющих системы случайных величин. Условные функция и плотность распределения.

11.   Лекция 10. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Зависимые и независимые случайные величины. Числовые характеристики зависимости (ковариация, коэффициент корреляции).

12.   Лекция 11. Двумерное нормальное распределение. Вероятность попадания в эллипс равной вероятности. Общий случай n-мерного нормального распределения. Функции от нормально распределенных случайных величин. Распределения "хи-квадрат", Стьюдента, Снедекора-Фишера. Полиномиальное распределение.

13.   Лекция 12. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Закон больших чисел. Теорема Чебышева и её частные случаи. Центральная предельная теорема.

14.   Лекция 13. Понятие о случайном процессе. Случайный процесс с дискретным и с непрерывным временем, с дискретными и непрерывными значениями. Примеры. Марковский случайный процесс. Вероятности состояний и переходные вероятности. Понятие однородного марковского процесса.

15.   Лекция 14. Цепи Маркова. Матрица вероятностей переходов. Однородная цепь Маркова. Предельные вероятности состояний.

16.   Лекция 15. Марковский процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Уравнения Колмогорова.

17.   Лекция 16. Поток событий. Простейший поток и его свойства. Нестационарный пуассоновский поток. Время обслуживания.

18.   Лекция 17. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Выборки. Способы отбора. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.

19.   Лекция 18. Статистические оценки параметров распределения. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки. Генеральная и выборочная средние. Групповая и выборочная средние. Отклонение от общей средней и его свойство.

20.   Лекция 19. Генеральная и выборочная дисперсии. Формула для вычисления дисперсии. Групповая, внутригрупповая, межгрупповая и общая дисперсии. Сложение дисперсий.

Практические занятия (19 часов)

1.       Классическая вероятностная схема. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

2.       Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

3.       Способы задания и числовые характеристики случайных величин.

4.       Основные распределения случайных величин.

5.       Система двух случайных величин. Функция и плотность распределения. Числовые характеристики зависимости.

6.       Двумерное нормальное распределение. Предельные теоремы.

7.       Цепи Маркова.

8.       Марковский процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем.

9.       Статистические оценки параметров распределения.

Формы отчетности:

Коллоквиумы, контрольные работы; экзамен

Дополнительная.

1. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1962.
2. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. -  М.: Наука, 1988.
3. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей (задачи и упражнения). - М.: Наука, 1973.
4. Ганнушкина С. А. Сборник задач по теории вероятностей. - М.: Наука,1974.
5. Боровков А. А. Математическая статистика. Оценка параметров. Проверка гипотез. - М.: Наука, 1984.
6. Ивченко Г. И., Медведев Ю. И. Математическая статистика. - М.: Высш. шк., 1984.
7. Ивченко Г. И. и др. Сборник задач по математической статистике. - М.: Высш. шк., 1989.
8. Случайные события и их вероятности. Методические указания. / Сост. В. В. Шергин, Л. В. Чернышова, В. Н. Мануйлова, А. М. Бондарик. Иван. хим.-технол. ин-т, 1991.
9. Случайные величины. Методические указания. / Сост. В. Н. Мануйлова, В. В. Шергин. Иван. хим.-технол. ин-т, 1991.
10. Элементы математической статистики. Методические указания. / Сост. Б. Я. Солон, В. В. Шергин. Иван. хим.-технол. ин-т, 1992.
11. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Айрис-пресс, 2004
12. Бобкова В.А. Основные распределения случайных величин. Методические указания для самостоятельной работы студентов всех форм обучения. - Иваново, ИГХТУ. - 2005. - 32с. (№959)
13. Бобкова В.А. Системы случайных величин. Методические указания. - Иваново, ИГХТУ. - 2010. - 28с. (№67)
14. Бобкова В.А. Комплект тестовых материалов для самостоятельной работы студентов по дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика". - Иваново, ИГХТУ. - 2014. - 95с. (ULibrary)
15. Бобкова В.А. Материалы для самостоятельной работы студентов по дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика". - Иваново, ИГХТУ. - 2014. - 94с. (ULibrary)