2. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. 5. Комбинированный метод хорд и касательных

Методы хорд и касательных дают приближения корня с разных сторон. Поэтому их часто применяют в сочетании друг с другом, тогда уточнение корня происходит быстрее.

Пусть дано уравнение f(x) = 0, корень отделен на отрезке [a, b].

Рассмотрим случай, когда f ‘(x) f ’’(x)>0 (рис. 2.13).

Рис. 2.13

В этом случае метод хорд дает приближенное значение корня с недостатком (конец b неподвижен), а метод касательных – с избытком (за начальное приближение берем точку b).

Тогда вычисления следует проводить по формулам:

Теперь корень ξ заключен в интервале [a₁, b₁]. Применяя к этому отрезку комбинированный метод, получим:

и т.д.

(2.6)

Если же f ‘(x) f ’’(x)<0 (рис. 2.14), то, рассуждая аналогично, получим следующие формулы для уточнения корня уравнения:

Рис. 2.14

Вычислительный процесс прекращается, как только выполнится условие: