ВВЕДЕНИЕ

В первой лабораторной работе предметом исследования и моделирования были случайные величины. Случайная величина характерна тем, что она в результате эксперимента принимает одно, заранее неизвестное значение. Однако такой элементарный подход в ряде практических задач является явно недостаточным. На практике часто приходится иметь дело со случайными величинами, непрерывно изменяющимися в процессе эксперимента. Примерами в этом случае могут служить: воздействие случайной "шумовой" помехи на вход системы или изменение показателей канала связи с течением времени. Для описания таких ситуаций существуют случайные процессы. Случайный процесс - это функция времени, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид и неизвестно заранее - какой именно. Конкретный вид, принимаемый случайным процессом в результате эксперимента, называется реализацией случайного процесса. Если произвести серию экспериментов над случайным процессом, то мы получим "семейство" реализаций этого случайного процесса.

Рассмотрим некоторый случайный процесс X(t) на определенном отрезке времени. Важно отметить, что если зафиксировать момент времени, то значение случайного процесса в этот момент времени - это случайная величина. Если рассмотреть значения случайного процесса в различные моменты времени t₁, t₂,..,t_m, то мы получим совокупность случайных величин X(t₁), X(t₂),…, X(t_m). Очевидно, что если интервалы (по времени) взятия отсчетов случайного процесса очень малы и их достаточно много (в пределе их количество стремится к бесконечности), то совокупность случайных величин X(t₁), X(t₂),…, X(t_m) достаточно точно определяет характер поведения случайного процесса. При описании случайных величин мы пользовались понятиями функции распределения вероятности и плотности распределения вероятности случайной величины [1]. Так как теперь у нас совокупность случайных величин (которые имеют между собой статистическую связь), то рассмотренных ранее сведений недостаточно. Если мы возьмем значения случайного процесса в различные моменты времени t₁ и t₂, то будем располагать двумя случайными величинами X(t₁) и X(t₂). В этом случае для исчерпывающего описания используется двумерная функция распределения вероятности:

,

(1)

где Р[…] - вероятность события, указанного в скобках.
Аналогично запишется двумерная плотность распределения вероятности:

.

(2)

Приведенные формулы (1) и (2) представляют исчерпывающее описание двух случайных величин X(t₁) и
X(t₂). Однако эти характеристики не являются достаточными для описания случайного процесса. Более полной характеристикой была бы трехмерная функция распределения вероятности:

.

Очевидно, теоретически можно неограниченно увеличивать число аргументов в функции и плотности распределения вероятности и получать при этом все более подробную информацию о характере случайного процесса. Однако такое описание для большинства ситуаций оказывается очень громоздким и неудобным. Важно, что если значения случайного процесса в различные моменты времени независимы, то совместная плотность распределения вероятности равна произведению одномерных плотностей распределения вероятности. Например, для выражения (2) имеем:

.

Практически в большинстве ситуаций достаточную информацию о процессе дает корреляционная функция случайного процесса

На практике часто встречаются случайные процессы, протекающие во времени приблизительно однородно и имеющие вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения, причем ни средняя амплитуда, ни характер этих колебаний не обнаруживают существенных изменений с течением времени. Такие случайные процессы называются стационарными. Каждый стационарный процесс можно рассматривать как продолжающийся во времени неопределенно долго. Исследуя стационарный процесс на любом временном участке, мы должны получить одни и те же его характеристики.

В общем случае X(t) считается стационарным процессом, если все его вероятностные характеристики не зависят от времени (точнее, не меняются при любом сдвиге аргументов, от которых они зависят, по оси t). Как следствие этого математическое ожидание случайного процесса, его дисперсия и корреляционная функция не зависят от времени.