1. ВИДЫ АППРОКСИМАЦИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

Большинство реальных процессов характеризуется непрерывным временем и непрерывными значениями самих процессов. В этом случае для моделирования на вычислительной технике непрерывную функцию времени необходимо преобразовать в дискретную, что называется аппроксимацией непрерывной функции. Наиболее известные виды аппроксимации показаны на рис.1, а, б, в.

Так, например, на рис.1, а:	e1(t)= e(mT)	при ;
на рис.1, б:	e2(t)=[e((m+1)T)+e(mT)]/2	при ;
на рис.1, в:	e2(t)=e(mT)+[e((m+1)T)-e(mT)]y/T	при ,

Таким образом, исходное непрерывное воздействие на систему заменяется другим (приближенным). Очевидно, что чем меньше шаг дискретизации и точнее аппроксимация, тем ближе реальный процесс на выходе системы и моделируемый процесс. Наиболее интересный вопрос здесь связан с выбором шага дискретизации. Известно, что полностью характеризовать линейную систему можно с помощью импульсной характеристики k(t), которая является реакцией системы на дельта-функцию Другой способ описания системы - это частотная характеристика, которая представляет собой зависимость комплексной амплитуды отклика системы от частоты гармонического входного воздействия.

Рассмотрим ситуацию, когда входным воздействием является случайный процесс. Это связано с тем, что случайный процесс наиболее полно характеризует различные возможные воздействия, в том числе и разнообразные детерминированные.

Здесь возможны две ситуации:

Для аналитического исследования систем, относящихся к первому пункту, широко используется модель под названием белый шум. В этом случае случайный процесс имеет равномерную спектральную плотность мощности на всем частотном интервале . Для цифрового моделирования существует другая модель - дискретный белый шум. Дадим более точное определение дискретного белого шума: это последовательность прямоугольных импульсов, при этом амплитуда каждого импульса представляет случайное число с нулевым математическим ожиданием. На рис. 2 показана реализация такой модели.

Спектральная плотность мощности такой модели аналитически записывается следующим образом:     (1)

Рассмотрим процесс перехода от модели белого шума к дискретному белому шуму.

Любая система имеет ту или иную граничную частоту , которая ограничивает частоты проходящие на выход системы. Очевидно, что для того, чтобы на интервале частот от 0 до можно было заменить (рис.3) равномерную спектральную плотность функцией она должна незначительно отличаться от на интервале от 0 до :

Как правило, приемлемая точность соответствует для . Разлагая функцию (1) в ряд, получим условие для выбора шага дискретизации:

(2)

Далее основная проблема сводится к тому, чтобы определить . Для этого рекомендуется решить [3] следующее уравнение относительно при b = 0.95 - 0.99:

.

Здесь - частотная характеристика.

Реально для большинства (даже несложных систем) нелегко выполнить формальные вычисления для получения и, в дальнейшем для получения шага дискретизации Т. Поэтому рекомендуется приблизительно определить - максимальную частоту пропускания системы, исходя из частотной характеристики системы, и выбрать приблизительно шаг дискретизации, исходя из условия

(3)

Рассмотрим теперь выбор шага дискретизации при моделировании коррелированных случайных процессов (а именно, вторая ситуация). Как и ранее в качестве входного воздействия рассмотрим случайный процесс. Аппроксимация (см. рис.1) приводит к искажению входного процесса и, следовательно, выходного. За меру качества дискретной модели примем величину [3]

Здесь - дисперсия случайного процесса на выходе системы при условии непрерывного воздействия на входе; - дисперсия случайного процесса, при условии, что входным воздействием является разность между истинным непрерывным входным случайным процессом и аппроксимирующей функцией.

Условие для выбора шага дискретизации [3]

(4)

где

Здесь - спектральная плотность мощности входного процесса. Практически вычислить достаточно сложно, и здесь также подходит условие (3).

Пример 1. На вход линейной системы с частотной характеристикой, показанной на рис.4, поступает случайный процесс - белый шум. Необходимо определить шаг дискретизации при действии белого шума на такую систему. Считаем параметр , а . Вычисляя по формуле (2), получим .

Пример 2. На вход линейной системы, описанной в примере 1, поступает случайный процесс с равномерной спектральной плотностью мощности в том же интервале частот. Определить шаг дискретизации при моделировании данной системы.

Считаем , и, вычисляя по формуле (4), получим .