1. ОЦЕНКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ

Пусть имеется случайная величина Х с математическим ожиданием m и дисперсией D, при этом оба эти параметра неизвестны. Над величиной Х произведено N независимых экспериментов, в результате которых была получена совокупность N численных результатов x₁, x₂, …, x_N. В качестве оценки математического ожидания естественно предложить среднее арифметическое наблюдаемых значений

(1)

Здесь в качестве x_i рассматриваются конкретные значения (числа), полученные в результате N экспериментов. Если взять другие (независимые от предыдущих) N экспериментов, то, очевидно, мы получим другое значение . Если взять еще N экспериментов, то мы получим еще одно новое значение . Обозначим через X_i случайную величину, являющуюся результатом i-го эксперимента, тогда реализациями X_i будут числа, полученные в результате этих экспериментов. Очевидно, что случайная величина X_i будет иметь такую же плотность распределения вероятности, что и исходная случайная величина Х. Также считаем, что случайные величины X_i и X_j являются независимыми при i, не равном j (различные независимые друг относительно друга эксперименты). Поэтому формулу (1) перепишем в другом (статистическом) виде:

(2)

Покажем, что оценка является несмещенной:

Таким образом, математическое ожидание выборочного среднего равно истинному математическому ожиданию случайной величины m. Это достаточно предсказуемый и понятный факт. Следовательно, за оценку математического ожидания случайной величины можно принять выборочное среднее (2). Теперь возникает вопрос: что происходит с дисперсией оценки математического ожидания при увеличении числа экспериментов? Аналитические вычисления показывают, что

,

где - дисперсия оценки математического ожидания (2), а D - истинная дисперсия случайной величины X.

Из вышесказанного следует, что с ростом N (количества экспериментов) дисперсия оценки уменьшается, т.е. чем больше мы суммируем независимые реализации, тем ближе к математическому ожиданию мы получим оценку.