главная     об авторе       содержание        часть2      часть3       часть4      литература

СОДЕРЖАНИЕ

ОТ АВТОРА

I. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

1.1. Исходные понятия и определения.

1.2. Роль моделирования в процессе научного исследования

1.3. Понятие о подобии объектов

1.4. Математическое подобие объектов. Обзор способов определения коэффициентов подобия

1.5. Понятие о научном эксперименте, принцип максимального правдоподобия математических моделей

1.6. Понятие о методе максимального правдоподобия

1.7. Методика вычисления коэффициентов уравнения регрессии с помощью матричной алгебры

1.8. Моделирование объектов и систем, не допускающих активных экспериментов

1.9. Проблема оценки правдоподобия моделей не существующих (проектируемых) систем

II МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ И АЛГОРИТМИЗАЦИИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

2.1. Элементы теории множеств

2.2. Представление множеств и подмножеств обобщенными кодами.

2.3. Исчисление обобщенных кодов подмножеств универсума

2.4. Элементы теории отношений. Общее понятие и свойства отношений

2.5. Понятие об исчислении высказываний

2.6. Метод дедуктивного логического вывода

2.7. Методика индуктивного логического вывода

2.8. Представление высказываний и отношений обобщенными кодами

2.9. Логические функции

2.9.1. Определения и формы представления логических функций

2.9.2. Формальные представления логических функций класса P_o

2.9.3. Принципы минимизации кодовых форм представления логических функций

2.9.4. Алгоритм приближенной минимизации КДНФ не полностью определенных логических функций общего класса

2.10. Вероятностные логические функции общего класса

2.10.1. Формальное представление вероятностных логических функций

2.10.2. Вычисление вероятностей значений вероятностных логических функций

2.11. Алгоритмы и алгоритмические процессы

2.11.1. Основные понятия и определения

2.11.2. Математические модели алгоритмических процессов

2.11.3. Пример синтеза структуры типового алгоритмического процесса

2.11.4. Показатели качества алгоритмов и алгоритмических процессов

2.11.4.1. Обобщенные и частные показатели

2.11.4.2. Показатель сложности решаемой задачи X® Y

2.11.4.3. Показатель сложности алгоритма

2.11.4.4. Оценка сложности иерархических алгоритмов

III. МЕТОДЫ РАЗРАБОТКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

3.1. Системный подход и математическое моделирование, как научная методология решения проблем

3.2. Концептуальное проектирование математических моделей

3.2.1. Общие методические положения

3.2.2. Проектирование математической модели для уточнения параметров орбиты космического аппарата

3.2.3. Проектирование модели для оценки надежности сложной информационно-вычислительной системы

3.2.4. Математическая модель для оценки производительности сложной информационно-вычислительной системы

IV. ОБЬЕКТНО-КЛАССИФИКАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

4.1. Введение.

4.2. Определение понятия “объект”

4.3. Введение в формальное моделирование атрибутов объектов

4.4. Классификация объектов. Пространство идентификаторов объектов.

4.5. Состояние объекта. Пространство состояний объекта.

4.6. Моделирование отношений между объектами и классами объектов

4.6.1. Общие положения

4.6.2. Классификационный подход к определению отношений

4.6.3. Моделирование отношений между параметрами объектов

4.6.4. Моделирование состояний объекта

4.6.5. Моделирование отношений между различными объектами

4.7. Теоретико-множественная модель класса объектов

Литература

Метод оценки сложности логических задач и алгоритмов может быть использован при оценке трудозатрат на проектирование и разработку СПО.

В нашем представлении объект - это все что мы различаем как нечто целое, реально существующее, или возникающее в нашем сознании и обладающее свойствами, значения которых позволяют нам однозначно распознавать это нечто. Объект, на котором сосредоточивается внимание субъекта с целью исследования, называется объектом исследования.

С точки зрения субъекта свойства делятся на внутренние (собственные) свойства объектов, показатели этих свойств называются параметрами, и внешние, представляющие собой свойства среды, связанные некоторыми отношениями с параметрами данного объекта. Показатели свойств внешней среды, влияющих на параметры исследуемого объекта, называются факторами.

Отношение называется функциональным (функцией F), если оно представляет собой однозначное отображение множества X значений показателя некоторого свойства в множество Y значений показателя того же, или иного свойства. Формально это записывают как F:= X ® Y, или как F(X)=Y, или F I X ? Y, где “? ” декартово произведение множеств.

Взаимодействие объектов определяется по результатам изменения значений показателей наблюдаемых свойств этих объектов. Поэтому каждому действию, или взаимодействию, мы присваиваем определенный результат. Это может быть значение, или определенная комбинация значений, показателей свойств взаимодействующих объектов. Действия над значениями показателей свойств объектов, выполняемые по определенным правилам и приводящие к предполагаемому результату, называются операцией или процедурой.

Значения показателей свойств объектов обозначаются символами из некоторого заранее определенного множества А, называемого алфавитом.

Множество объектов, взаимосвязанных между собой определенными отношениями, и выполняющих определенную общую для них целевую функцию или имеющих общее предназначение, называется системой.

Способность, по нашему мнению, есть готовность объекта проявлять определенные свойства в определенных условиях. И наоборот, способность объекта вести себя определенным образом квалифицируется как его свойство. Например, забегая вперед, отметим, что одним из свойств сознания человека является способность применять ранее накопленные знания для решения возникающих логических проблем. Эта способность называется интеллектом.

Значения показателей свойств меняются с течением времени. В результате этого происходит смена состояний объектов. Акт смены состояний объекта, отнесенный к определенному промежутку времени, называется событием, а последовательность взаимосвязанных событий, происходящих на некотором интервале времени, называется процессом.

Часть материально-энергетической системы, предназначенная для восприятия и хранения результатов отражения, с целью воспроизведения и использования их в интересах системы в целом, называется памятью. Результаты отражения объектов внешнего мира и внутренних ощущений в памяти человека называются образами.

Как правило, чувственные органы человека воспринимают не полный образ наблюдаемого объекта, а только те его свойства, которые данный человек считает наиболее существенными по каким-то причинам. Человек способен присваивать образам символические имена из некоторого языка и связывать эти имена определенными логическими (мысленными) отношениями. Сформированная в памяти человека логическая система имен (идентификаторов образов) называется понятием.

Система понятий и логических отношений между ними, отражающая какую-нибудь сторону реальной действительности, называется знаниями. Каждый субъект обладает памятью и механизмом целенаправленной манипуляции понятиями и знаниями. В целом эта система называется сознанием.

Процесс целенаправленной манипуляции знаниями в сознании субъекта называется мышлением.

Сознание субъекта присваивает каждому понятию, как и образу, символическое имя, определенное на языке, которым владеет данный субъект. Из имен понятий и образов формируется текст, представляющий собой знания субъекта о некоторой предметной области, закодированные на данном языке. Наглядная схема определений, связанных с понятием предметной области, представлена на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Схема определения понятия "знания о предметной области".

Таким образом, основным элементом любого знания является понятие, представленное на определенном языке. Понятие в процессе приобретения знаний и в процессе мышления субъекта имеет три значения:

• символическое, представляющее понятия, как слова и формальные выражения, составленное из символов алфавита языка данного субъекта.

Условие, по которому осуществляется выбор искомого решения, называется критерием. Как правило, критерий формулируется в виде некоторого отношения на множестве значений определенного показателя, который будем называть аргументом критерия.

1.2. Роль моделирования в процессе научного исследования

Процесс исследования заканчивается, когда исследователь находит совокупность значений параметров объекта, удовлетворяющую заданному критерию с заданной достоверностью. Проведение таких исследований называется экспериментом.

Пусть некоторый объект Q обладает некоторым интересующим нас свойством C_0. Для получения математической модели, описывающей данное свойство необходимо:

2. Установить перечень свойств С₁,...,С_m,, с которыми свойство С₀ связано некоторыми отношениями (это могут быть внутренние свойства объекта и свойства внешней среды, влияющие на объект).

3. Описать в избранной форматной системе свойства внешней среды, как внешние факторы х₁,...,х_n, влияющие на искомый показатель Y, внутренние свойства объекта, как параметры z₁,...,z_r, а неучтенные свойства отнести к группе неучитываемых факторов (w₁,...,w_s).

В обобщенном виде схема такого описания (моделирования) показана на рис. 1.2.

Как показано на этом рисунке реальный объект характеризуется следующим функциональным отношением между показателями его свойств:

Y=f(x₁,...,x_n,z₁,...,z_r,w₁,...,w_s).                    (1.1)

Однако в модели отображаются только те факторы и параметры оригинального объекта, которые имеют существенное значение для решения исследуемой проблемы. Кроме того, измерения существенных факторов и параметров практически всегда содержат ошибки, вызываемые неточностью измерительных приборов и незнанием некоторых факторов. В силу этого математическая модель является только приближенным описанием свойств изучаемого объекта. А математическую модель можно определить еще и как абстракцию изучаемой реальной сущности.

Модели обычно отличаются от оригиналов по природе своих внутренних параметров. Подобие заключается в адекватности реакции Y модели и оригинала на изменение внешних факторов x₁,...x_n. Поэтому в общем случае математическая модель представляет собой функцию

Y' = f(x'₁,...,x'_n,p₁,...,p_m),                          (1.2)

где p₁,...,p_m внутренние параметры модели, адекватные параметрам оригинала.

В более сложных случаях вид уравнения (1.2) неизвестен и задача исследователя состоит, прежде всего, в том, чтобы найти это уравнение. При этом к числу варьируемых параметров х'₁,...,х'_n, относят все учитываемые внешние факторы и параметры исследуемого объекта, а к числу искомых параметров относят внутренние параметры модели p₁,...,p_m, связывающие факторы х'₁,...,х'_n, с показателем Y' наиболее правдоподобным отношением. Решением этой проблемы занимается теория эксперимента. Суть этой теории состоит в том, чтобы, основываясь на выборочных измерениях значений параметров х'₁,...,х'_n, и показателя Y', найти параметры p₁,...,p_m, при которых функция (1.2) наиболее точно отражает реальную закономерность (1.1).

1.3. Понятие о подобии объектов

Вообще говоря, объекты с различной физической природой, например механические и электрические процессы, могут иметь однородные свойства, например свойство изменения во времени определенных параметров.

Известно несколько видов подобия объектов [3].

1. В зависимости от полноты учета параметров различают:

практическое приближенное подобие - соответствие выделенных параметров и показателей с определенными допущениями и приближениями.

2. По адекватности природы объектов различают:

Изучению проблемы подобия объектов посвящена теория подобия. В рамках этой теории установлены три основных теоремы о подобии объектов, определяющие необходимые и достаточные условия подобия (критерии подобия).

Приведем краткое изложение содержания этих теорем [3].

du_с /dt + u_c - E = 0.

Рис. 1.3. Электрический контур с параметрами R, C, E, t, u_с.

Параметрами этого процесса являются: R, C, E, u_с, t.. Из данного уравнения путем определенных преобразований получают следующие коэффициенты подобия:

p ₁ = RC/ t= R¹ C¹ t^-1 u_c⁰ E⁰,

p ₂ = E/u_c = E¹ u_c^-1 R⁰ C⁰ t⁰.

Теорема II. Всякое уравнение физического процесса F(p₁,...,p_n)= 0, записанное в определенной системе единиц измерений, может быть представлено в виде соответствующего уравнения F^`(p ₁, ... , p _m) = 0 между коэффициентами подобия p ₁, ... , p _m, полученными из параметров p₁ ,...,p_n , задействованных в исходном уравнении F(p₁, ...,p_n--k)= 0.

Для примера, показанного на pис.1.3., это уравнение имеет вид: 1+ p ₁ - p ₂ = 0.

Теорема III. Необходимыми и достаточными условиями подобия объектов (оригинала и модели), описываемых однородными уравнениями F(P₁,...,P_m)= 0 и F(R₁, ...,R_m)= 0 , являются:

1. пропорциональность значений параметров P_i / R_i = m_i,
2. равенство ( m = k - 1 ) коэффициентов подобия, составленных из данных уравнений, где m - число всех параметров в уравнении, k - число независимых параметров в уравнении,
3. соблюдение однозначности начальных условий и не учитываемых, неизменяемых параметров, т.е. соблюдение однозначности условий эксперимента.

Известны также дополнительные условия подобия для сложных объектов [3]. Смысл этих дополнительных условий в следующем. Два сложных объекта подобны, если подобны все соответствующие элементы этих объектов и подобны функции (или отношения) связывающие данные элементы.

Далее мы будем говорить только о математическом подобии сложных процессов.

1.4. Математическое подобие объектов. Обзор способов определения коэффициентов подобия

Например, процесс изменения напряжения u_c в контуре электрической цепи, состоящей из активного сопротивления R, емкости C, индуктивности L, источника напряжения E и выключателя K, описывается такими же дифференциальными уравнениями, как и процесс колебания груза, подвешенного на пружине, под воздействием силы тяжести и некоторого импульса. Однако, параметры уравнений, описывающих эти два процесса, будут иметь различную размерность. Но коэффициенты подобия безразмерны и будут иметь одинаковые численные значения. Это математическое подобие позволяет изучать механические колебания на электрических моделях и наоборот.

В таких случаях доказательство адекватности оригинала и модели сводится к доказательству вышеизложенных теорем о подобии объектов.

Если исследуемый процесс может быть описан однородным дифференциальным уравнением вида:

или интегральным уравнением вида:

где х - параметр процесса, то коэффициенты подобия получают непосредственно из этих уравнений. Для этого данное уравнение приводят к безразмерному виду путем деления всех членов уравнения на один из этих членов и избавляются от знаков дифференцирования (интегрирования), считая, что отношения бесконечно малых величин равно отношению обычных значений параметров. Затем, члены уравнения преобразуют к виду

где j = 1,..., (n-1), C_j, a _j,...,w _j - безразмерные числа. Полученное при этом уравнение исследуемого процесса, представленное через коэффициенты подобия имеют вид:

Пусть процесс описывается функцией F(p₁,...,p_m) = 0, где - p_j - размерные физические величины, характеризующие исследуемый процесс.

Известно [3], что любая такая функция может быть представлена в виде

Fp (p ₁, p ₂,..., p _m-k) = 0,

где p ₁,..., p _m-k - коэффициенты подобия, k - число независимых параметров p_j в множестве p₁,...,p_m.

  2. Каждое уравнение отражает взаимосвязь параметров p₁,...,p_m. (Параметр p_i есть показатель определенного свойства Si).

  3. Каждый параметр имеет условную меру - единицу измерения [P_i]. Единицы измерения бывают основными {a,b,...,q} и производными. В общем случае [P_i] = f (a,b,...,q), обычно

[P] = [a]^a [b]^b ... [q]^z ,                                 (1.3)

где a, b,...,z - целые числа. Выражение (1.3) называется формулой размерности параметра (физической величины) или просто размерностью.

  4. Группа параметров (показателей свойств) называется группой независимых параметров, если размерность ни одного из параметров не может быть образована из размерностей других параметров из той же группы. Например, группа (l,m,v) есть группа независимых параметров, так как размерность пути [l] определяется как [L], размерность массы [m] определяется как [M] и размерность скорости [v] - как [V]=[L¹T^-1] и [V] не равно f([l],[m]).

  5. Признаком независимости параметров p₁,...,p_m является существование хотя бы одного отличного от нуля определителя (D? 0) порядка k, образованного из элементов матрицы, составленной из показателей степеней при основных единицах измерения в формулах размерностей этих параметров.

Пример. Даны параметры p₁,p₂,p₃ с размерностями [P₁]=[Ll¹Mm¹Tt¹], [P₂]=[Ll²Mm²Tt²], [P₃]=[Ll³Mm³Tt³]. Эти параметры независимы, если система уравнений:

   6. Для физического процесса, полностью характеризуемого m параметрами p₁,...,p_m, среди которых k параметров p₁,...,p_k являются независимыми, существует m-k критериев подобия p ₁, ... , p _m-k. Число k равно рангу матрицы, образованной показателями степеней при основных единицах измерения параметров p_{1, ....,} p_m .

   7. В общем виде формулы для определения коэффициентов подобия имеют вид:

где x_i ,..., z_i - показатели степеней, получаемые из системы уравнений:

     (1.4)

решением которой является выражение:

x_i = D₁ / D, ... , z_i = D_k/ D,

где D - определитель системы (1.4), D₁,...,D_k - определители, составленные из D заменой соответствующего столбца 1,...,k столбцом свободных членов.

Подробнее методику отыскания коэффициентов критерия подобия различных систем и явлений смотрите в [3].

1.5. Понятие о научном эксперименте, принцип максимального правдоподобия математических моделей

Математическое моделирование также представляет собой эксперимент, цель которого состоит в том, чтобы опытным путем, или путем логического вывода, найти неизвестные параметры q₁, ..., q_m математической модели изучаемого процесса или объекта и построить соотношение Y^* = F^*( x₁, ..., x_n, z₁, ..., z_r, q₁, ... q_m) в явном виде так, чтобы в области варьирования факторов x₁, ..., x_n, z₁, ..., z_r функция Y^* наилучшим образом приближалась бы к функции Y.

Достижение этой цели основано на использовании принципа максимального правдоподобия математической модели (функции F^*) экспериментально полученным данным об исследуемом объекте.

1. Случайная величина Y полностью определяется (задается) функцией плотности распределения f(y,h) ее значений, где h - параметр плотности распределения.

2. Математическое ожидание случайной величины Y есть наиболее вероятное (правдоподобное) ее значение. Оно вычисляется по формуле:

E{y} соответствует максимальному значению этой функции.

Другими словами, наиболее вероятное значение E{y} случайной величины Y соответствует значению параметра h функции f(y, h), удовлетворяющему условию:

d f(y,h)/ dh = 0,                         (1.5)

где h - среднее значение величины y.

Рис. 1.4. График функции плотности распределения вероятностей

Уравнение (1.5) называется уравнением правдоподобия , а решение h^ этого уравнения называется оценкой максимального правдоподобия случайной величины Y по параметру h. Оценка h^ параметра h осуществляется экспериментально по выборке значений y₁, . . . , y_n случайной величины Y из генеральной совокупности ее значений. При этом исходят из того, что вероятность получить выборку значений y₁, ..., y_n определяется по формуле:

                                 (1.6)

где  - совместная плотность распределения выборки y₁, ..., y_n

в генеральной совокупности значений случайной величины Y.

Из данного выражения следует, что наибольшему значению вероятности (1.6) соответствует максимальное значение функции

                                                  (1.7)

вычисленное по параметру h.

  Функция (1.7) называется функцией правдоподобия h (среднего значения случайной величины Y) и записывается в виде l{h / y₁, . . ., y_n}. Часто применяется также логарифмическая функция правдоподобия, которая позволяет упростить вычисление оценки h^ параметра h по выборке y₁, . . . , y_n.

      (1.8)

1.6. Понятие о методе максимального правдоподобия

Метод максимального правдоподобия позволяет получать математические модели, характеризующие существенные свойства изучаемых процессов в виде функции правдоподобия (1.8) с оценкой параметра h по результатам экспериментальных измерений показателя Y.

* Априори установить характер закона распределения значений величины Y.

* Спланировать эксперимент и провести n опытов, в результате которых должна быть получена выборка y₁, . . . , y_n значений случайной величины Y.

* Определить функцию правдоподобия l{h/ y₁, . . . , y_n } и оценить параметр h (в общем случае может быть множество параметров q₁, ..., q_m).

* На основании полученной оценки h^, или (q₁^, . . . , q_m^) сделать выводы относительно исследуемого показателя Y.

Пример 1. Предположим, что каждый из m стрелявших из пистолета произвел n выстрелов, стреляя по отдельной мишени. Затем наугад выбрана одна из мишеней. При этом в ней было обнаружено r попаданий. О каждом стрелке нам известно, что он способен попасть в мишень при одном выстреле с вероятностью

p_j , jО {1, ...,m}.

P(r,n, p_j) = C^r_n p^r_j(1-p_j)^n-r.                            (1.9)

Параметр p^_j, максимизирующий вероятность P(r, n, p_j), позволяет сделать вывод о том, что выбранная мишень с r пробоинами с наибольшей вероятностью принадлежит стрелявшему под номером j, который имеет способность (вероятность) p_j попадать в мишень при одном выстреле наиболее близкую к оценке p^_j.  Для оценки p^_j составляем функцию правдоподобия

  l{p_j, r, n}=p^r_j(1-p_j)^n-r. Данная функция достигает максимума при p^_j = r/n   [15]. Следовательно, наиболее вероятно, что выбранная мишень принадлежит стрелявшему под номером j, соответствующему оценке p^_j=r/n.

Пример 2. Предположим, что задача состоит в том, чтобы оценить вес некоторого предмета посредством взвешивания его на n различных весах приблизительно одинаковой точности. В результате получается выборка  у₁, y₂, . . ., y_n значений оцениваемого показателя Y, характеризующего вес данного предмета.   Y является случайной величиной, распределенной по нормальному закону:

                          (1.10)

где h - математическое ожидание величины Y, а s² - дисперсия этой величины.  Так как по определению s² характеризует разброс значений y_i относительно математического ожидания h, то величина s² не влияет на положение максимума параметра h. Поэтому для упрощения вычислений можно положить s² = 1. Тогда выражение (1.10) приобретает вид:

Отсюда формула правдоподобия параметра h имеет вид:

     (1.11)

        принимает минимальное значение. Этот факт был использован для разработки широко известного метода оценки параметров математической модели изучаемого процесса, называемого “методом наименьших квадратов”.

  При исследовании сложных систем показатель Y изучаемого свойства может быть функцией от многих факторов x₁, ..., x_n и представлять собой случайную функцию Y = f(x₁, ..., x_n, q₁, ..., q_m). Задача исследователя состоит в том, чтобы с помощью эксперимента определить такую функцию h(X, Q) c параметрами q₁, ..., q_m, которая с наибольшей вероятностью соответствует реальной функции Y.   Согласно принципу максимального правдоподобия полагают, что функция h(X,Q) должна представлять собой множество значений {E(y_i)}, где E(y_i) - математическое ожидание случайной величины Y в точке X_i (X_i - набор значений факторов x₁, ..., x_n в точке i ).

Функция h(X,Q) обычно представляется в виде линейного относительно параметров q₁, ... q_m полинома

h ( X,Q) = q ₀f₀(X) + q ₁f₁(X) + ... + q _mf_m(X),                   (1.12)

который называется уравнением регрессии случайной величины Y.  В случае однофакторной функции Y ее уравнение регрессии может быть представлено в виде разложения в ряд Фурье:

h ( x, Q) = q ₀ ¹/₂ + q ₁ Sin (x) + q ₂ Cos (x) + ... ,

или в виде разложение в ряд Тейлора:

h (x,Q ) = q ₀ + q ₁x + q ₂x² + ... .

 ,      а уравнение регрессии, представленное таким полиномом имеет следующий вид:

h ( C , Q ) = q ₀(x⁰₁ x⁰₂ ... x⁰_n) + q ₁(x¹₁ x⁰₂ ... x⁰_n) + . . . + q ₂^n-1(x¹₁ ... x¹_n).    (1.13)

Поэтому проблема состоит еще и в том, как выбирать полином (1.12) так, чтобы трудоемкость вычислений была бы по возможности наименьшей. Эта проблема называется планированием эксперимента.   Для того чтобы полиномиальное представление функции h ( C , Q ) было хорошо обозримым и удобным для вычислений, введем следующие обозначения:

X^Kj = (x_1a ¹,..., x_na ⁿ)_j,

где a _eI {0, 1}=A_e, e = 1,...,n, (a ₁,...,a _n)_j= K_jI {A_1? ...? A_n}. Другими словами, K_j - есть двоичное число от (0₁, 0₂, ... , 0_n) до (1₁,1₂, ..., 1_n) .  В силу данных обозначений X^Kj представляет (обозначает) вполне определенную комбинацию переменных x₁, ..., x_n, например, при K_j = (1₁, 0₂, ..., 0_n) X^Kj= x₁, при K_j = (1₁, 1₂, 0₃, ..., 0_n) X^Kj = x₁ x₂ , и так далее. При этом полином (1.13) может быть записан в следующем виде:

      Данное представление позволяет включать в полином только некоторое ограниченное количество членов, обеспечивающее заданную точность. Это может быть использовано для построения эффективных алгоритмов планирования экспериментов и вычисления параметров q ₀,...,q _n.    Если случайная величина Y распределена по нормальному закону, то имеет место следующее уравнение:

      из которого логарифмическая функция правдоподобия выборки y₁, ..., y_s случайной величины Y получается в виде:

Чтобы найти значения функции h ( C _{i, Q )} , максимизирующие данную функцию правдоподобия в точках X_i , необходимо решить систему следующих дифференциальных уравнений:

¶ L{h ( C _{1, Q ) ,} y₁, ..., y_s} / ¶ q _j = 0,          j = 1,...,m.

В общем случае эта система имеет следующий вид:

  (1.14)

В результате решения данной системы линейных уравнений получают множество оценок q ^{^}₀, q ^{^}₁, ..., q ^{^}_m параметров q ₀, q ₁, ..., q _m искомой функции h ( C _{i, Q )} . Для решения этой системы обычно применяют матричную алгебру.    Система уравнений (1.14) может быть получена и другим способом. Данный способ основан на предположении, что каждое значение y_i получается из опыта с некоторой погрешностью x _i. При этом имеет место система уравнений

x _i = y_i - h ( C _{i, Q )} ,       i = 1,...,s.

Степень приближения функции h ( C _{i, Q )} к экспериментальным данным

оценивается величиной дисперсии 

Таким образом, приходят к соотношению |S| = z , показывающему, что оценки параметров q _j логарифмической функции правдоподобия S и дисперсии z имеют одинаковые значения в точке экстремума.  Заметим, что данный способ не предполагает никаких ограничений на вид распределения случайной величины Y. Поэтому можно считать, что функция S (z ) годится для оценки параметров функции регрессии h ( C _i,Q ) случайной величины Y при любом законе ее распределения.

- представить полученные в результате опыта данные в следующем виде:

x _i = y_i - [q ₀f₀(x_i) + q ₁f₁(x_i) + ... + q _mf_m(x_i)],       i = 1, ... , s,     (1.15)

где s - число опытов в эксперименте;

- ввести и определить конструктивную (структурную) матрицу:

(последнее уравнение получено с учетом того, что

- продифференцировать последнее выражение функции z по каждому параметру q _i , в результате чего будет получена следующая система уравнений:  

- решить данную систему, выполняя следующие действия:

Для получения решения q ^{^} необходимо, чтобы строки матрицы A' были линейно зависимы. Если при решении данной задачи использовать для представления уравнения регрессии формулу

 то вместо выражения f_j(x_i) можно использовать выражение X^Kj , при этом вычисления могут быть существенно упрощены.

Пример. Пусть некоторый показатель исследуемого процесса представляет собой случайную величину Y = F(x₁, x₂, x₃). Тогда функция регрессии h ( C _i,Q ) , представляющая собой математическое ожидание E{y_i}, i = 1,...,s, можно представить в вид полинома

h ( C _i,Q ) = q ₀ + q ₁x₁ + q ₂x₂ + q ₃x₃ + q ₄x₁x₂ + q ₅x₁x₃ + q ₆x₂x₃ + q ₇x₁x₂x₃ .

При этом заглавная строка структурной матрицы A будет иметь следующий вид:

x₀ , x₁, x₂, x₃, x₁x₂, x₁x₃ x₂x₃ x₁x₂x_3,

а сама матрица A, представляющая собой план проведения эксперимента, приобретает следующий вид:                              Таблица 1.1

- добавлена фиктивная переменная x₀ для приведения свободного коэффициента q ₀ к общему виду;

- значения переменных x_j, jI {0, 1, 2, 3} определены на множестве {-1, +1}, где -1 замещает наименьшее, а +1 - наибольшее значение переменной x_j из области допустимых ее значений;

- комбинации значений независимых переменных x₁, x₂, x₃ в данном случае представлены всеми возможными элементами декартового произведения {-1, +1} ? {-1, +1} ? {-1, +1}, которое называется полным или насыщенным планом эксперимента;

- значения таблицы, представляющие нелинейные члены полинома h (C _i,Q ), получаются в результате перемножения значений переменных x₁, x₂, x₃ в соответствующих столбцах таблицы;

- число строк s матрицы А соответствует наименьшему количеству опытов, необходимому для вычисления коэффициентов q (в данном примере s = 2³, что соответствует количеству искомых параметров q _j);

- матрица А должна обладать следующими свойствами:

симметричности -                          j = 1,2,...,7,

нормализованности          -

ортогональности -                   eО{1,...,7},  e№j,  x_j,i    - функция из заглавной строки таблицы 1.1, представляющая собой комбинацию переменных x₁,x₂,x₃.   При наличии перечисленных свойств матрицы А коэффициенты q _j определяются по формуле       а дисперсия этих параметров - по формуле      s ² {q _j} = s ² {y_i} / s.  Приведенная методика годится для оценки параметров любой многофакторной функции h ( C _i,Q ) . Классическим примером применения метода максимального правдоподобия является задача определения (уточнения) параметров орбиты космического аппарата [8] .

Примечание. Использование вычислительной процедуры, реализующей метод наименьших квадратов с целью получения оценок коэффициентов модели, которые удовлетворяли бы условиям несмещенности, состоятельности и эффективности, предполагает выполнение следующих условий [9]:

* независимые переменные представляют собой неслучайный набор чисел таких, что их среднее значение и дисперсия конечны,

* случайные ошибки x _i имеют нулевую среднюю и конечную дисперсию

* между независимыми переменными отсутствует корреляция и автокорреляция,

* случайная ошибка не коррелированна с независимыми переменными,

* случайная ошибка подчинена нормальному закону распределения,

* зависимость между входными (независимыми) переменными и выходными (зависимыми) линейна.

1.8. Моделирование объектов и систем, не допускающих активных экспериментов.

Для решения данной проблемы используются методы математической статистики. К ним относятся методы корреляционного и факторного анализа.

1.9. Проблема оценки правдоподобия моделей не существующих (проектируемых) систем.

Если система (процесс) вообще не существует, а только предполагается (проектируется), то экспериментальное построение ее (его) математической модели в принципе не возможно. Однако априорная оценка свойств проектируемого процесса или системы необходима всегда. Создатель системы или процесса всегда должен предвидеть и оценивать последствия своей деятельности. За эти последствия он несет не только моральную, но и социальную ответственность.

Математическое моделирование на ЭВМ позволяет решить эту проблему с достоверностью, которая определяется компетентностью самого создателя в своем деле и от эффективности применяемых им методов моделирования. Применение “хороших” методов математического моделирования позволяет разработчикам сложных систем получать правдоподобные оценки проектируемых систем и прогнозировать возможные эффекты от применения этих систем.

В нашем представлении хороший метод моделирования должен вытекать из общих законов теории познания и основываясь на законах логики, теории вероятностей, математической статистики и других строгих научных дисциплин, давать исследователю набор принципов, правил и алгоритмов, выполнение которых неизбежно приведет к построению модели, правдоподобной заданному процессу. При этом гарантируется вполне определенная степень правдоподобия.

главная     об авторе       содержание        часть2      часть3       часть4      литература