Автор: Алексей Легкунец, Королевство Delphi

Изучая доступную литературу по программированию, которую я нашел в Интернете, а также некоторые программы, я пришел к выводу, что программисты то ли не осознают, то ли не хотят напрягаться на эту тему, и всё делают, как в школе учили. Строят графики, как на бумаге. Тем самым умаляя возможности компьютера. Оставляя те же недостатки метода построения, и даже усугубляя их.

Во первых вывод на экран - это вывод на дискретный носитель. Этот факт почти никак не учитывается. В тексте будет пояснено.

А сейчас я приведу пример программы из одного учебного электронного издания, автора я привести не могу, т.к. последний не указан.

unit Graf;
interface
uses
  Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,
  Dialogs;
type
  TForm1 = class(TForm)
    procedure FormPaint(Sender: TObject);
    procedure FormResize(Sender: TObject);
  private
    { Private declarations }
  public
    { Public declarations }
  end;
var
  Form1: TForm1;
 
implementation
 
{$R *.dfm}
 Function f(x:real):real;
begin
f:=2*Sin(x)*exp(x/5);
end;
// строит график функции
procedure GrOfFunc;
var
x1,x2:real; // границы изменения аргумента функции
y1,y2:real; // границы изменения значения функции
x:real; // аргумент функции
y:real; // значение функции в точке х
dx:real; // приращение аргумента
 
 
l,b:integer; // левый нижний угол области вывода графика
w,h:integer; // ширина и высота области вывода графика
mx,my:real; // масштаб по осям X и Y 
x0,y0:integer; // точка - начало координат
begin                                           // область вывода графика
l:=10;                                          // X - координата левого верхнего угла
b:=Form1.ClientHeight-20;               //У - координата левого верхнего угла
h:=Form1.ClientHeight-40; // высота
w:=Form1.Width-40; // ширина
x1:=0; // нижняя граница диапазона аргумента
x2:=25; // верхняя граница диапазона аргумента
dx:=0.01; // шаг аргумента
 
// найдем максимальное и минимальное значения
// функции на отрезке [x1,x2]
 
y1:=f(x1); // минимум
y2:=f(x1); //максимум
x:=x1;
repeat
y := f (x);
if y < y1 then y1:=y;
if y > y2 then y2:=y;
x:=x+dx; until (x >= x2);
// вычислим масштаб
my:=h/abs(y2-y1); // масштаб по оси Y
mx:=w/abs(x2-x1); // масштаб по оси X
x0:=1;
y0:=b-Abs(Round(y1*my)) ;
with form1.Canvas do
begin              // оси
MoveTo(l,b);LineTo(l,b-h);
MoveTo(x0,y0);LineTo(x0+w,y0);
TextOut(l+5,b-h,FloatToStrF(y2,ffGeneral,6,3));
TextOut(l+5,b,FloatToStrF(y1,ffGeneral,6,3));
// построение графика
x:=x1; repeat
y:=f(x);
Pixels[x0+Round(x*mx),y0-Round(y*my)]:=clRed;
x:=x+dx;
until (x >= x2);
end;
end;
 
 
procedure TForm1.FormPaint(Sender: TObject); 
begin
GrOfFunc; end;
// изменился размер окна программы
 
procedure TForm1.FormResize(Sender: TObject); 
begin
// очистить форму
form1.Canvas.FillRect(Rect(0,0,ClientWidth,ClientHeight));
// построить график
GrOfFunc;
end;
end.

Программа хорошо выводит графики, когда функция имеет как положительные, так и отрицательные значения. Причем весь график помещается в указанном прямоугольнике.

Теперь посмотрим, а сколько вычислений значений функции делает программа? В данном случае (25-0)/0.01=2500. Для любого прямоугольника вывода. Чем был обусловлен выбор шага dx? Скорее всего, непрерывностью линии графика. Который, кстати, так и остался прерывистым на некоторых участках, там, где функция меняется быстро. Борются с этим, уменьшая dx, причем чаще радикально - сразу в 10, и даже в 100 раз, доводя до 0.0001; меньше мне не приходилось встречать. А это 250000 вычислений функции. И графики все равно прерывистые. Благо компьютеры быстрые. Но вот если вычислять функцию, заданную неявно, то график будет строится помедленнее. Выберем прямоугольник вывода 600*400. Таким образом по горизонтали мы можем иметь только 600 значений. По оси У, соответственно, тоже. Вопрос: куда идут остальные 249400 результата вычислений? Часть идет на построение вертикальных отрезков прямых, соединяющих соседние ординаты, а львиную долю других поедает Round . Вот тебе и дискретный вывод. Отсюда вытекает, что функцию нужно считать в 600 точках, а отрезки вертикальных прямых можно нарисовать карандашом. И dx нужно выбирать в нашем случае (25-0)/600= 0,0416666. График получится самый качественный, какой только возможно получить. Затем, нет необходимости вычислять ее значение дважды .Можно раз, запомнив результат в массиве(Массив имеет размер не более разрешения монитора). В таких условиях скорость вывода не меняется.

Во-вторых, сам метод построения (вычисление значений функции с шагом dx) работает как фильтр, отсекая высокочастотные гармоники, т.е я хочу сказать, что если к функции f(x) добавить что-то вроде g(x)*sin(2*pi/dx*x), то результат вывода будет плачевным. Этот элемент никак не изменит предыдущий график. Хотя он может являться основным носителем информации о функции. И уж конечно очень непросто вывести на экран график дискретной функции (имеется в ввиду универсальными программами общего пользования, подобными приведенной). Если взять f(x)=2*Sin(x)*exp(x/5)+ exp(x*x)*sin(2*pi/dx*x), то данная программа второе слагаемое не заметит, хотя будет тратить время на расчет f(x)=2*Sin(x)*exp(x/5)* exp(x*x)*sin(2*pi/dx*x). А в этом случае график константы. Приведенная программа, как я упоминал, некорректно отобразит и его, но это же учебная программа. Поэтому претензий не предъявляем.

А вот если взять TAB MathGrapher 1.0 (распространена в Интернете) и просто ввести 5* Sin(200*pi*x), то мы получим чистый ноль. Вместо 5, понятно, можно написать любую функцию, да и вместо Sin(200*pi*x) любую периодическую с кратной частотой, и программа выдаст неверный график.

Это, как я уже писал, издержки метода построения. Как с этим бороться? Неэффективный и не исправляющий программу брать dx=0.0037 или что-то наподобие, тогда сложно будет подобрать период и натыкать автора(шутка). Очевидно, нужно, чтобы программа давала возможность рассматривать функцию на небольшом отрезке, с dx=(х2-х1)/w (ширина вывода в пикселях). Т.е. программа должна автоматически менять шаг с уменьшением отрезка. Что-то подобное я написал, в результате можно графическим методом решать умопомрачительные трансцендентные уравнения с точностью 10E-7 и выше за считанные минуты (х2, х1 нужно вводить вручную). Тем, кто над подобным не задумывался, код в руки, а пользователям хотелось бы порекомендовать: не берите программы, которые не меняют шаг. А то в ответственных случаях можно получить неверный график и попасть в затруднительное положение.