Преподаватель Бобкова В.А.

I. ВВЕДЕНИЕ

Цель дисциплины - дать студентам базовые представления о методах вычислительной математики.

Требования к знаниям и умениям по завершению изучения дисциплины

Студент должен:

• иметь представление: о точных и приближенных методах решения математических задач;
• знать и уметь использовать: понятия и методы вычислительной математики в своей профессиональной деятельности;
• владеть: основными приемами вычисления погрешностей, аппроксимации функций, численного дифференцирования и интегрирования, решения систем уравнений, решения задач оптимизации;
• иметь опыт: 
•                                        использования основных приемов обработки экспериментальных данных;
•                         аналитического и численного решения алгебраических уравнений и систем уравнений;
•                         численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений;
•                         численного решения основных уравнений математической физики.

Период прохождения курса (2 курс, 4 семестр, экзамен)
II. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Лекционный материал (36 час):

1.  Лекция 1. Роль и место численных методов среди других математических методов. Понятие о корректности постановки задачи, устойчивости численного метода.
2. Лекция 2. Погрешность результата численного решения задачи. Источники и классификация погрешностей. Абсолютная и относительная погрешности. Связь между относительной погрешностью и количеством верных значащих цифр числа. Погрешность функции нескольких переменных.
3. Лекция 3. Алгебраические и трансцендентные уравнения, этапы их решения. Метод половинного деления для уточнения корня (алгоритм, геометрическая иллюстрация, условие окончания вычислений, достоинства и недостатки метода).
4. Лекция 4. Методы хорд, касательных, комбинированный, итераций для уточнения корня (алгоритм, геометрическая иллюстрация, условия окончания вычислений, сравнительная оценка методов).
5.  Лекция 5. Точные и итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод определителей, метод последовательного исключения неизвестных Гаусса. Сравнительная оценка методов.
6. Лекция 6. Метод простой итерации, метод Зейделя (алгоритм, достаточные условия сходимости, условие окончания вычислений).
7. Лекция 7. Постановка задачи. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Оценка погрешности. Правило Рунге практической оценки погрешности.
8.  Лекция 8. Постановка задачи аппроксимации функции. Интерполирование. Линейная интерполяция. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
9. Лекция 9. Метод наименьших квадратов. Аппроксимация экспериментальных данных линейной и квадратичной функциями.
10. Лекция 10. Постановка задачи. Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений (условия применимости, алгоритм, условия окончания вычислений).
11.  Лекции 11,12. Постановка задачи Коши. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: метод Эйлера, методы Рунге-Кутта второго и четвертого порядков (алгоритм, геометрическое истолкование, оценка погрешности).
12.  Лекция 13.  Численное решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Применение к исследованию кинетики химических реакций.
13. Лекция 14. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными. Начальные и краевые условия. Понятие о методе конечных разностей.
14. Лекция 15. Приближенное решение параболического уравнения на примере уравнения теплопроводности для однородного тонкого стержня. Явная и неявная разностные схемы.
15.  Лекция 16. Постановка задачи. Одномерная и многомерная оптимизация. Методы одномерной оптимизации (сканирования, локализации экстремума, золотого сечения, метод, использующий числа Фибоначчи).
16. Лекция 17.  Многомерный поиск. Нелинейное программирование. Градиентные методы.
17. Лекция 18.  Многомерный поиск. Линейное программирование. Примеры задач линейного программирования. Симплекс-метод. Графический метод решения задачи линейного программирования.

 Лабораторные занятия (36 часов)

1.  Основы теории погрешностей. (4 часа), недели №№1, 2. Сдача коллоквиума.
2. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений. (4 часа), недели №№3, 4. Сдача коллоквиума.
3. Решение систем линейных алгебраических уравнений. (4 часа), недели №5, 6. Сдача коллоквиума.
4. Численное интегрирование. (2 часа), неделя №7. Сдача коллоквиума.
5. Аппроксимация функций с помощью метода наименьших квадратов. (4 часа), недели №№8,9. Сдача коллоквиума.
6. Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона. (4 часа), недели №№10, 11. Сдача коллоквиума.
7. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений. (4 часа), недели №№12, 13. Сдача коллоквиума.
8. Численное решение одномерного уравнения теплопроводности. (4 часа), недели №№14, 15. Сдача коллоквиума.
9. Методы одномерной оптимизации. (2 часа), неделя №16.
10. Методы многомерной оптимизации. Нелинейное программирование. (2 часа), неделя №17.
11. Линейное программирование (2 часа), неделя №18. Сдача коллоквиума.

Формы отчетности:

     Коллоквиумы, зачет

III. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО ДИСЦИПЛИНЕ (изданная через центральные издательства и внутривузовским способом).

Основная.

1.       Бахвалов Н. С. Численные методы. - М.: Наука. 1975.

2.       Калиткин Н. Н. Численные методы. - М.: Наука. 1978.

3.       Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. - М.:Наука, 1970.

4.       Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. - Ч.1 : Наука, 1966; Ч.2 : М.: Физматгиз, 1962.  

Дополнительная.

1.       Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на ФОРТРАНе. - М.: Мир, 1969.

 2.       Турчак Л. И. Основы численных методов. - М.: Высш. шк., 1985.

   3.       Воробьёва Г. Н., Данилова А. Н. Практикум по численным методам.- М.: Высш. шк., 1979.

 4.       Методические указания и задания к практическим занятиям по численным методам / Сост. С. И. Смуров, Т. В. Сокольская. Иван. хим.-технол. ин-т, 1985.

5.       Численные методы. Методические указания. / Сост. С. И. Смуров, В. А. Таланова, В. И. Шевченко. Иван. хим.-технол. ин-т, 1988.

6.       Методы оптимизации. Методические указания и задания к практическим занятиям и лабораторным работам. / Сост. С. И. Смуров, Т. В. Сокольская, В. А. Бобкова. Иван. хим.-технол. ин-т, 1990.

7.       Моделирование сложных изотермических реакций, описываемых линейными дифференциальными уравнениями. Методические указания. / Сост. С. И. Смуров, В. А. Таланова. Иван. хим.-технол. ин-т, 1992.

8.       Методические указания к лабораторным работам по освоениию Excel for Windows. Методические указания / Сост. В. А. Бобкова, Ю. Широков. Иван. гос. хим.-технол. акад., 1997.

9.       Сборник лабораторных работ по курсу <Информатика>. Часть 2. Численные методы. Методические указания для самостоятельной работы студентов всех форм обучения. / Сост. В. А. Бобкова, Э. Г. Галиаскаров, В. А. Таланова. Иван. гос.-хим. технол. ун-т, 2002.

IV. ПРИМЕНЕНИЕ ЭВМ.

Все лабораторные занятия проводятся в компьютерных классах кафедры "Информатики и вычислительной техники".
В качестве технических средств используются IBM-совместимые персональные компьютеры класса Pentium, объединенные в локальную вычислительную сеть.
В качестве системного программного средства на рабочих местах используется ОС Windows 2000.
В качестве прикладных программных средств для данной дисциплины используются:

•                             стандартные программы базового комплекта ОС Windows; 
•                             система программирования Turbo Pascal;
•                             процессор электронных таблиц Excel.