5.3. Применение теории сжатых множеств для декомпозиции процесса управления

Вначале, следуя [344], выделим набор основных операций, последовательным применением которых может быть осуществлена декомпозиция процесса управления сложной многоуровневой системы на ряд иерархически взаимосвязанных задач. В отличие от существующих методов синтеза задач вышестоящего уровня на основе первоначально определенных задач нижнего уровня управления используемый метод декомпозиции начинает с концентрирования на глобальной задаче управления всей системой в целом. Преимущество этого метода заключается в том, что обоснованно вводятся (и если это необходимо, контролируются) различные упрощения в процессе декомпозиции общей задачи на подзадачи каждого уровня. Важно понять все эти упрощения, так как они могут подсказать способ координации подсистем и учета влияния неопределенностей различного типа. При проведении декомпозиции будем оперировать с задачами, определение которых шире понятия "модель системы", так как включает в себя цели управления системой, возмущения внешней среды и описание всех видов неопределенностей, возникающих на разных стадиях автоматизации системы. Задача отражает дополнительные цели, ограничения и структурные изменения в системе, связанные с взаимодействием подсистем в процессе реализации целей управления в условиях неопределенности.

Общая задача управления может быть разделена между подсистемами разных уровней с использованием слабых взаимодействий между отдельными частями системы или между различными составляющими целевой функции. Иерархическая структура системы управления появляется в результате декомпозиции общей задачи управления.

Взаимодействие между регуляторами отображается во взаимосвязь подзадач. Структура иерархического управления системой будет соответствовать структуре решения отдельных подзадач. Слабые взаимодействия могут быть определены и на основе анализа неопределенности информации в системе, наличия фактически замеряемых параметров.

В результате декомпозиции общая задача управления разбивается на иерархические подзадачи таким образом, что некоторые подзадачи могут быть решены не требуя информации от других подзадач, зависящих от их решения. Сохраняется лишь информативный поток, помогающий вышестоящим регуляторам выбирать соответствующую подзадачу в зависимости от ситуации на объектах путем анализа допустимости принятых аппроксимаций и упрощений и посредством этого улучшать работу иерархической системе управления. В зависимости от сложности алгоритма анализа и регулятора нижестоящего уровня поток информации может меняться от информации о классифицировании ситуации до полной информации, замеряемой этим уровнем.

Сама декомпозиция заключается в замене задачи на эквивалентную совокупность подзадач. Декомпозиция проводится через ряд последовательных стадий, в которых формулируются промежуточные задачи. Некоторые стадии могут быть связаны с преобразованием задач в форму, подходящую для декомпозиции; разделением задач, а также дальнейшим объединением в единые задачи образовавшихся в результате декомпозиции эквивалентных подзадач.

Критерием эквивалентности двух задач является наличие одинаковых решений. Поэтому полезно характеризовать каждую задачу в терминах ее решения. Причем это возможно без получения конкретного решения косвенным образом, так что решение задачи

, (5.6)

будет теперь характеризоваться неявным множеством

(5.7)

Решение определяется как множество, т.к. оно не всегда единственное. Это выражение определяет элементы множества без формирования точных значений этих элементов. Представленная на таком формальном уровне задача может рассматриваться как особый тип множеств, известных как сжатые множества [344]. Прилагательное "сжатое" используется ввиду того, что множество может быть представлено как "сжатие" ограниченного множества Х, которое отображает целевую функцию (функционал) V в максимальный элемент в области определения V. Это множество отличается от других множеств в том, что оно определяется косвенным образом и его условия определения включают оптимизацию.

Сжатое множество будем обозначать и определять формально как

(5.8)

где V - однозначная скалярная функция или функционал, отображающий Х на линейно-упорядоченное множество П:

. (5.9)

Очевидно, что . Более того, если только один элемент из Х отображается V в максимальный элемент множества П, то содержит один элемент х*, что соответствует задаче имеющей единственное решение. Аналогично, если П имеет минимальный элемент, то можно определить подмножество Х, которое отображает V в этот минимальный элемент:

.

Следовательно, как задачи минимизации, так и задачи максимизации характеризуются своими сжатыми множествами.

Применим в качестве базового понятие сжатого множества :

,

где V - функционал, отображающий множества Х,U,Т на линейно-упорядоченное множество П.

Существует несколько видов сжатия множества допустимых режимов Х и управляющих воздействий U.

Сжатие может быть в системе естественным при наличии в ней локальных устройств автоматики, АСУ ТП, операторов и диспетчеров, наделенных правом принимать решения и осуществлять регулирование технологического процесса в рамках определенных для них верхним уровнем уставок и ограничений.

Возможны несколько видов сжатия множества :

1. Отсечение на множествах управлений U и состояний Х в процессе согласования режимов (рис.5.1).

Рис.5.1. Сжатие множества в процессе согласования режимов.

2. Наличие моделей и взаимосвязей между параметрами состояния и управлением также позволяет сжать множество режимов (рис.5.2.).

Рис.5.2. Сжатие множества при наличии моделей и взаимосвязей между параметрами.

3. Наличие локальных устройств автоматики на объекте при наличии в соответствующей задаче критерия оптимальности Vдает возможность сжать множество управляемых и контролируемых параметров и множество моментов времени, т.е. перейти от непрерывного к дискретному управлению (рис.5.3).

Рис.5.3. Сжатие множества при наличии у элементов системы критерия V.

В задаче децентрализованного управления в качестве алгоритма, сжимающего множество возможных состояний системы во времени, может применяться задача слежения [230]. Под слежением понимается использование замкнутого регулятора, который принуждает состояние системы х(t) или ее выход y(t) следовать заданному переменному координирующему сигналу х_k(t) или y_k(t). В случае, когда координирующие сигналы изменяются лишь время от времени, являясь кусочно-постоянными, задача слежения превращается в задачу регулирования. Следящая система или регулятор выполняют свою основную функцию с минимизацией некоторого критерия качества V (интеграл квадрата ошибки, затраты энергии и т.д.).

Следует выделить следующие основные типы декомпозиции в решении проблемы управления сложными распределенными системами [294, 341]:

1. Функциональная декомпозиция, при которой задача управления заменяется на совокупность взаимосвязанных или отдельных подзадач с учетом функций, выполняемых отдельными подсистемами. Так, например, для системы с распределенными параметрами система дифференциальных уравнений в частных производных декомпозируется в несколько дифференциальных уравнений в частных производных.

2. Пространственная декомпозиция, которая расчленяет пространственную область на несколько подобластей и получает соответствующую математическую декомпозицию. После проведения функциональной декомпозиции каждая подзадача может быть далее декомпозирована с привлечением пространственной декомпозиции для получения численного решения.

3. Декомпозиция по времени, в результате которой для каждого иерархического уровня определяется периодичность решения соответствующих подзадач, опроса датчиков и ЭВМ каждого уровня управления. Определение периодичности решения задач и опроса датчиков может быть осуществлено как на основе теоремы Котельникова [59, 137], так и в виде адаптивного автоматизированного метода дискретизации [300], основанного на минимизации интегрального квадратического критерия ошибки.

Процедуры декомпозиции для сжатых множеств.

Для декомпозиции задач можно выделить шесть основных процедур декомпозиции, доказательства которых с использованием теории сжатых множеств приводятся в работе [344]: разделение, параметрическая декомпозиция, структурная декомпозиция, преобразование переменных, преобразование Лагранжа, развитие задачи.

Приведем в целях простоты все эти процедуры для декомпозиции задачи управления на две подзадачи. Для обобщения этих процедур на любую размерность в работе [344] приводятся соответствующие многомерные декомпозиционные теоремы.

1. Разделение.

Эта операция заключается в прямой декомпозиции задачи на подзадачи, что является возможным только в случае выделения подмножества переменных, которые могут изменяться независимо от других переменных.

Если

и , , ,

где ; ,

и y сохраняет строгую упорядоченность множества , т.е.

тогда

.

2. Параметрическая декомпозиция. Для этой процедуры производится декомпозиция общей задачи управления на подзадачи, связанные между собой путем временной фиксации значений некоторых переменных. Эти переменные называются параметрами и они обеспечивают взаимосвязь между подзадачами. За счет итерационного взаимодействия между подзадачами обеспечивается достижение оптимальности решения глобальной задачи управления.

Если ;

;

и , ,

где ;

тогда

В случае, когда

; .

3. Структурная декомпозиция.

Используя ту же систему обозначений, что и для предыдущих принципов декомпозиции, процедуру структурной декомпозиции можно записать следующим образом:

,

где ;

; ; .

Эта процедура определяет лишь вид получаемых подзадач, но не дает конструктивных методов построения .

4. Преобразование переменных. Задача может быть преобразована в эквивалентную задачу введением новых переменных, которые связаны с начальными переменными. Если

и и ,

где , тогда

.

5. Преобразование Лагранжа. Путем введения множителей Лагранжа упрощается система ограничений за счет введения дополнительных отношений и переменных в целевую функцию.

Если

и ,

где есть - мерное Евклидово пространство, - размерность , и лагранжиан определяется как

,

причем существует седловая точка , тогда

,

где означает проекцию вдоль L на X , а

.

Существование седловой точки можно проверить, воспользовавшись процедурой параметрической декомпозиции для построения следующим образом:

; ,

где и

Функция часто называется двойственной функцией, и с ее помощью можно проверить, является ли полученное решение седловой точкой с помощью теоремы двойственности [344], которая формулируется следующим образом:

Точка является седловой точкой лагранжиана тогда и только тогда, когда .

Кроме возможности проверки, является ли точка седловой, теорема двойственности может использоваться для оценки сходимости итерационного алгоритма, используемого для вычисления . Если на k-ой итерации , тогда находится внутри x - окрестности .

6. Развитие задачи. При решении сложных производственных задач иногда необходимо бывает преобразовывать задачу в другую задачу, не точно эквивалентную исходной. Таким образом можно применять различные типы аппроксимаций, вводить упрощения в исходную задачу, отбрасывая несущественные переменные с уточнением отдельных деталей задачи [344]. Развитие задачи используется также и при наличии неопределенных факторов в задаче. Для строгого определения этой операции необходимо характеризовать исходную задачу таким образом, чтобы формализовать неполноту, неточность этой задачи.

Это может быть достигнуто путем введения допущения, что задача является неполной и сжатое множество является нечетким множеством за счет того, что ограничения или целевая функция V являются нечеткими. Процедура развития задачи вводится в [344] следующим образом: является приемлемым развитием нечеткого сжатого множества тогда и только тогда, когда все члены с высокой степенью принадлежности также имеют высокую степень принадлежности в .

Процедуры (1)-(3) обеспечивают различные разбиения задач на подзадачи. Первая - разделяет задачу на независимые подзадачи, а две другие осуществляют декомпозицию на взаимодействующие подзадачи. Процедуры (4)-(6) производят преобразование задачи.

Причем процедура развития задачи добавлена для распространения теории декомпозиции на генерацию иерархических структур и на учет неопределенности в системе (развитие задачи с целью учета неточных, либо отсутствующих данных). То есть, в частном случае процедура преобразования может осуществлять и расширение вектора переменных до нового вектора большей размерности. В процессе декомпозиции задачи появляются новые решающие блоки, цель которых - оценивание приемлемости принятых допущений в зависимости от ситуации.

Декомпозиция сложной задачи обычно осуществляется путем использования комбинации приведенных выше процедур декомпозиции.

Однако определенные в результате проведения декомпозиции задачи могут быть сильно связаны между собой и итерационный процесс получения согласованного решения может быть очень длительным и обладать плохой сходимостью. Поэтому для получения иерархической структуры задач принятия решения возникает необходимость проведения процедуры развития отдельных задач, т.е. некоторые подзадачи могут дублироваться и решаться в составе задач разных уровней управления. Эти подзадачи не будут полностью идентичными и должны отличаться различными допущениями, например, в подзадаче вышестоящего уровня управления в отличие от сложного нестационарного расчета режима транспорта газа в задаче нижестоящего уровня могут игнорироваться высокочастотные возмущения, использоваться меньшая периодичность решения и получения данных, применяться упрощенная эквивалентная расчетная схема газопровода. Однако получаемые решения должны быть эквивалентными в рамках заданной погрешности.

[К предыдущей главе].....[К содержанию] ......[К следующей главе]