2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ГАУССОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ С РАЗЛИЧНЫМИ ФУНКЦИЯМИ КОРРЕЛЯЦИИ

1) с корреляционной функцией вида

.

Здесь D - дисперсия процесса, а а-определяет корреляцию (статистическую зависимость) соседних чисел (считаем а>0).

Для моделирования гауссовского случайного процесса с экспоненциальной функцией корреляции используется следующий алгоритм:

,
.

где e(n) - значения дискретного белого гауссовского шума с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Параметрами модели в данном случае являются дисперсия выходного моделируемого процесса D и параметр а, который определяет статистическую связь соседних случайных отсчетов.

Как правило, на практике исходным параметром является нормированный коэффициент корреляции

(3)

который определяет нормированную корреляцию соседних отсчетов случайного процесса и практически задается из интервала от 0.9 до 0.9999. Когда этот коэффициент равен 1, то все значения случайного процесса становятся одинаковыми, а когда этот коэффициент стремится к 0, то получается рассмотренная ранее модель - дискретный белый гауссовский шум.

Программа 1 ( исходный файл lect2_1.cpp , выполняемый файл lect2_1.exe ).

На следующем фрагменте приведена программа моделирования реализации случайного процесса с экспоненциальной функцией корреляции:

#define   N  500
#include "model.h"
#include <math.h>
float D = 1,  a = 0.15;
float  x[N];
void main(void)
{  float e, k1, k2; int n;
	 k2 = exp( - a );
	 k1 = sqrt( D*( 1. - k2* k2 ));
	 
      x[0] = gauss(0, D);
	      for(n =1; n <N; n++)
		  {  e = gauss(0, 1);
		     x[n] = k1* e + k2* x[n-1];
 }
 Init_graph();
    graf_1("exp_korration ", x, 0, N-1);
 Close_graph();
} 

2) с корреляционной функцией вида

.

Здесь, как и раньше, D - дисперсия процесса, а а-определяет корреляцию (статистическую зависимость) соседних чисел.

Последовательность этапов моделирования следующая:

1. Необходимо получить реализацию дискретного белого шума длительностью N (где N достаточно большое - порядка 1000 и более отсчетов) с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Для получения данной реализации необходимо N раз обратиться к датчику, выдающему независимые случайные числа, распределенные по гауссовскому закону. Эту реализацию в дальнейшем будем обозначать e(n).
2. Далее выполняем следующее преобразование:
   

   	,
   где	.

   
   
   Здесь неопределенным остается предел суммирования Р, и для его определения может служить рекомендация:
   
   
   Р = целая часть от деления 2 на а
   
   
   (а<1 - иначе моделирование не имело бы смысла). После этого в получившейся реализации необходимо отбросить первые и последние Р отсчетов и оставить только N-2P отсчетов. Дело в том, что стационарным фрагментом моделируемого случайного процесса (с постоянной дисперсией) является именно центральная часть. Таким образом, длительность реализации равна N=N-2P.

3) с корреляционной функцией вида

.

Здесь, как и раньше, D - дисперсия процесса, а а-определяет корреляцию (статистическую зависимость) соседних чисел.

Последовательность этапов моделирования следующая:

1. Необходимо получить реализацию дискретного белого шума длительностью N (где N достаточно большое - порядка 1000 и более отсчетов) с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Для получения данной реализации необходимо N раз обратиться к датчику, выдающему независимые случайные числа, распределенные по гауссовскому закону. Эту реализацию в дальнейшем будем обозначать e(n).
2. 2. Далее выполняем следующее преобразование:
   

   	,
   где	.

   Здесь неизвестным остается предел суммирования Р, для его определения может служить знакомая рекомендация:
   
   
   Р = целая часть от деления 2 на а (а<1).
   
   
3. В получившейся реализации необходимо отбросить первые и последние Р отсчетов.

Таким образом, длительность реализации стационарного процесса с требуемой функцией корреляции равна N=N-2P.

4) с треугольной корреляционной функцией.

В рассматриваемом случае функция корреляции описывается формулой:

.

где , M определяет протяженность корреляционной функции, D - дисперсия случайного процесса. При других m R(m) = 0.

Алгоритм моделирования реализации гауссовского случайного процесса с рассматриваемой корреляционной функцией заключается в следующем:

1. Необходимо получить реализацию дискретного белого гауссовского шума длительностью N (где N достаточно большое - порядка 1000 и более отсчетов) с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Для получения данной реализации необходимо N раз обратиться к датчику, выдающему независимые случайные числа, распределенные по гауссовскому закону. Эту реализацию в дальнейшем будем обозначать e(n).
2. Выполнить преобразование исходной последовательности e(n) следующим образом:
   
   
   
   
   
3. После этого необходимо отбросить первые M-1 отсчеты случайного процесса x(n). Оставшиеся N-M+1 представляют реализацию стационарного случайного процесса с требуемыми корреляционными свойствами.