2.2. Алгебраические операции над F- величинами

Операции сложения, умножения, вычитания и деления, определенные на множестве вещественных чисел, распространяются на класс F(R) следующим образом. Каждая из отмеченных выше бинарных операций на R есть отображение

f: R *R® R.

Если взять теперь два сегмента A=[a,b], B=[c,d], то их сумма, например, определяется отображением

f: A *B® R,

которое для запишется в виде

f(x,y) = z = x+y,

где . Очевидно, что

A+B = [a+c, b+d].

Теперь становится понятным переход к определению алгебраических операций над F-величинами.

Пусть теперь A, B F(R) и ° - есть некоторая операция из набора {+, -, *, /}. Учитывая соотношения (1.8) и (1.20) можно записать:

. (2.3)

Если декартово произведение определить по второму типу, то получим

(2.4)

Общий случай для всех четырех типов декартового произведения запишется в виде:

(2.5)

где - какая-либо из четырех типов функций, введенных ранее.

Таким образом, для получения F-функции необходимо решить параметрическую задачу на нахождение условного экстремума, т.е. в зависимости от z R найти верхнюю грань функции на множестве U, задаваемого ограничением (уравнением связи)

g(x, y; z) = x ° y - z = 0. (2.6)

Необходимо отметить, что решение поставленной задачи всегда существует в отличие от задачи поиска максимума некоторой функции на заданном множестве [71].

Пример 2.5. Пусть на U={x| 0< x<1}. В этом случае

,

но точек максимума на Uфункция m не имеет. Если же U={x| 0< x 1}, то

Пример 2.6. Функция наU={x| 1< x } не имеет точек максимума, но . Если U={x| 1< x a < }, то

.

Вообще говоря, все аналитические и численные методы решения экстремальных задач предназначены для нахождения локальных максимумов и минимумов [41, 71, 163, 233]. Поэтому, если верхняя грань функции не совпадает с ее глобальным максимумом, то необходимо проводить некоторые специальные исследования. Хорошо известно также, что успех решения экстремальной задачи во многом зависит от вида целевой функции. Более подробно эти вопросы будут рассматриваться в последующих разделах.

Прежде чем приступить к исследованию некоторых свойств алгебраических операций над F-величинами, следует сделать одно замечание.

Если выразить одну из переменных в (2.6) через другую, например, y через x в виде

y = u(x,z) ,

то, подставляя полученное выражение для y в (2.5), можно преобразовать данную задачу в следующую экстремальную задачу без ограничений, содержащую единственную переменную x:

. (2.7)

Другой подход состоит в использовании множителей Лагранжа. В этом случае задача (2.5) с учетом (2.6) преобразуется к виду

(2.8)

В дальнейшем, если не оговорено противное, алгебраические операции определяются по первому типу, т.е. соотношением (2.3).

Алгебраические операции над F -величинами обладают следующими свойствами:

1. Коммутативность сложения и умножения. Поскольку для всех четырех типов декартового произведения

,

а сложение и умножение вещественных чисел коммутативно, то для A, BF(R) из (2.5) следует

A+B=B+A, AB=BA. (2.9)

2. Ассоциативность сложения и умножения. Если сложение и умножение определяются по (2.3) или (2.4), то эти операции ассоциативны, т.е.

(A+B)+C=A+(B+C), (AB)C=A(BC). (2.10)

Действительно, если символ * обозначает операцию произведения или взятия минимума, то . Пусть

,

где . Тогда

,

где . Используя (2.7), получим

С другой стороны, поскольку

,

где , то

,

где . Следовательно,

Таким образом, . Кроме того, если записать

,

где , то это можно трактовать как трехместную операцию сложения F-величин. Делая замену , получим, что

(A+B)+C=A+(B+C) =A+B+C .

Ассоциативность умножения доказывается аналогично.

3. Дистрибутивность. В общем случае это свойство операций не выполняется, т.е.

.

Для получения более точной формулировки закона дистрибутивности необходимо вывести некоторые соотношения. Покажем сначала, что

, (2.11)

где . Подставляя в (2.11), получим

.

С другой стороны

,

где , и следовательно,

.

Тогда

,

где , т.е.

что и требовалось доказать. Аналогично показывается, что

, (2.12)

где .

Сравним значения функций и в некоторой произвольной точке . Предположим, что такие, что и, кроме того,

.

Если положить , то на основании равенства

из (2.12) следует, что не исключена возможность существования таких с условием , что

и, следовательно,

. (2.13)

Рассмотрим частный случай, когда . Из (2.11) получим

при условии , откуда

. (2.14)

Соответственно, из (2.12) имеем

, (2.15)

при условии . Сравним (2.14) и (2.15) в некоторой произвольной точке , которой соответствует такая, что

Рассмотрим соотношение ,

из которого следует. (2.16)

Рассмотрим следующие случаи.

1. Числа b и c одного знака, т.е. . Тогда из (2.16) получаем, что или . Если при этом А - выпуклая F-величина, то очевидно, что при

,

поскольку при всех других с указанными выше положениями относительно точки справедливо неравенство

.

Наглядное представление этому дает рис 2.2.

Рис.2.2. График для выпуклой функции .

Если А не является выпуклой, то ясно, что могут найтись такие точки , что и справедливо неравенство

.

Учитывая дополнительно, что при получаем , окончательно получаем, что

.

Наглядное представление сказанному дает рис. 2.3.

Рис.2.3. График для невыпуклой функции .

2. Пусть b и с разных знаков. Тогда из (2.16) следует, что или . Проведя соответствующий анализ, нетрудно убедиться, что независимо от выпуклости величины А выполняется соотношение

.

Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 2.5.Если А - выпуклая F-величина и b, c такие вещественные числа, что , то выполняется равенство

. (2.17)

Далее, из (2.15) для произвольной получаем следующее очевидное свойство, (2.18) т.е. функция симметрична относительно нуля.

Последнее свойство, которое отметим в данном разделе, заключается в том, что при для произвольных из (2.11) и (2.12) следует равенство. (2.19)

[К предыдущей главе].....[К содержанию] ......[К следующей главе]