2.3. Алгебраические системы F-величин

Из определения алгебраических операций над F-величинами видно, что равенство A-B=0 справедливо тогда и только тогда, когда A=B= ( 1, a ). Следовательно, F-величина не имеет обратного элемента относительно сложения. Нетрудно показать, что аналогичное утверждение справедливо и для операции умножения. Таким образом, в F(R) вычитание необратно сложению, а деление необратно умножению. Учитывая дополнительно коммутативность и ассоциативность сложения и умножения заключаем, что F(R) относительно каждой из данных операций образует абелеву (коммутативную) полугруппу и, следовательно, не является полем.

Попытка классификации F(R) как векторного (линейного) пространства над R не приводит к успеху в силу отмеченной выше особенности операции сложения и полученного в предыдущем разделе ограничения на выполнения равенства

.

Воспользуемся следующим понятием, введенным в интервальном анализе [247].

Абелева полугруппа К относительно сложения с нейтральным называется квазилинейным пространством над полем R, если для любых и справедливы следующие соотношения:

1. ;

2. , если ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

Ясно, что класс F(R) в целом не является квазилинейным пространством, поскольку второй пункт определения, как указывает теорема 2.5, выполняется только для выпуклых F-величин. При этом дополнительном условии проанализируем выполнение двух последних пунктов определения, поскольку справедливость оставшихся доказана или очевидна.

Пусть и . Тогда из (2.3) следует, что . Это значит, что если потребовать единственность элемента , то первые пять пунктов определения для подкласса выпуклых F-величин, которые обозначим через , с условием

.

Следующая теорема устанавливает критерий выполнения шестого пункта определения для F-величин из .

Теорема 2.6.Пусть и выполняются условия:

1. ;

2. ;

3. для каждой указанной пары и выполняются неравенства:

,

В этом случае .

Доказательство . Покажем, что для произвольного справедливо равенство . Действительно, пусть, например, . Из условия теоремы существует такое, что

и , т.е. . Пусть . Тогда , что противоречит равенству , следовательно, .

Если , то , и, следовательно, должно выполняться условие . Это возможно при . Теорема доказана.

Пример 2.7. Графически F-величины A,B и С изображены на рис.2.4.

Рис. 2.4. Функции принадлежности для примера 2.7.

Из рисунка видно, что и , при . Из определения операции сложения F-величин очевидно, что и , поскольку поведение функций при не влияет на значение F-функций . Тем не менее, .

Пример 2.8. На рис. 2.5 изображены графики F-функций и .

Рис. 2.5. Функции принадлежности для примера 2.8.

Функции монотонно возрастают на всей оси, и . Функция монотонно убывает на всей оси и . В данном случае , хотя .

Действительно, возьмем произвольную пару точек и найдем величину . По определению имеем

.

Поскольку для произвольного выполняются соотношения

, (2.20)

, (2.21)

то можно записать

, (2.22)

где

, (2.23)

, (2.24)

Очевидно, что для нашего примера и, следовательно, . В силу произвольности точек получим, что . Это же утверждение справедливо для F- величин А и С.

Нетрудно заметить, что для данного примера не выполняются первые два условия теоремы 2.6, т.е., например, для произвольного не существует такого, что .

Пример 2.9. Пусть F-величины А, В и С определяются следующим образом:

,

,

,

т.е. при всех х, кроме х=2, т.к. , а . Воспользовавшись результатами последующих разделов, имеем

,

хотя . В данном случае не выполняются те же условия теоремы 2.6, что и в предыдущем примере.

Пример 2.10. Пусть

,

,

.

Тогда имеем

,

хотя . В данном случае нарушено третье условие теоремы 2.6. Действительно, , но и , но . Следовательно, равенство не гарантирует равенства , что и показывает данный пример.

Замечание . Указанное выше определение абелевой полугруппы взято из интервального анализа, в котором интервальные величины образуют квазилинейное пространство. Этот факт является очевидным следствием теоремы 2.6, поскольку интервальные величины являются частным (предельным) случаем F-величин из вида .

[К предыдущей главе].....[К содержанию] ......[К следующей главе]