2.5. Обратный аналитический метод нахождения результатов алгебраических операций

В предыдущем разделе задача нахождения функции , задаваемой соотношением

(2.54)

решалась так называемым прямым методом, т.е. для произвольного определялось .

В основе обратного метода нахождения результатов алгебраических операций лежит важное следствие из следующей теоремы.

Теорема 2.8. Пусть X и Y - произвольные базовые множества, AF(X) и задано отображение f: X® Y. Если для "y Y $x X такой, что , то справедливо равенство

(2.55)

Доказательство. Пусть такое, что . Тогда , т.е. и, следовательно, .

С другой стороны, пусть , т.е. . Тогда по условию теоремы существует такой, что . Поскольку , то . Теорема доказана.

Следствие. Если A, BF(R) , то

Доказательство.Как было отмечено ранее, алгебраические операции определяются отображением f:R* R®R , т.е. для F-величин A и B имеем f(A* B)=A°B. Учитывая, что в данном случае справедливо равенство , с учетом (2.55) получаем

что и требовалось доказать.

Очевидно, что указанная теорема и следствие справедливы также для слабых a -уровневых множеств.

F-величина A называется ограниченной , если s(A) - ограниченное множество. Подкласс из F(R) ограниченных и выпуклых F-величин обозначим через .

Из условия теоремы следует, что доказанное следствие выполняется, когда основное соотношение (2.54) можно записать в виде

(2.56)

Суть обратного метода решения задачи (2.56) для ограниченных и выпуклых F -величин заключается в следующем. Если A, B, то для произвольного a из[0,1], пользуясь указанным следствием, можно найти a-уровневое множество для A° B. Этим самым определяется элемент

из класса , находящегося во взаимно однозначном соответствии с (теорема 1.3).

Разрешая уравнения относительно a , получим образ элемента в классе относительно биекции T: ®, т.е. F- функцию . Таким образом, название данного метода вполне согласуется с идеей, положенной в его основу.

Заметим, что обратный метод согласно теореме 2.8, можно применять для нахождения F-величины f(A) при отображении f: R®R, A F(R) . Поскольку , то следствие теоремы можно записать так

, (2.57)

где символ · обозначает интервальную алгебраическую операцию [247].

Приведем несколько примеров нахождения результатов алгебраических операций над F-величинами обратным методом.

Пример 2.27 .Пусть А и В из примера 2.12, т.е. . Найдем F-величину A+B. Имеем

откуда

следовательно,

Далее

откуда

т.е. для всех z имеем

,

что совпадает с результатом (2.31), полученным прямым методом.

Пример 2.28. Пусть А и В из примера 2.12, т.е. и . Тогда из уравнений

,

получим

Как и в предыдущем примере из соотношений

следует

,

,

что совпадает с результатом (2.32).

Пример 2.29 . Для А и В из примера 2.15 имеем

,

,

откуда

,

.

Из соотношения

получаем

при .

Аналогично, из равенства

получаем

при .

Кроме того, , если

Полученный ответ совпадает с результатом примера 2.15.

Пример 2.30. Рассмотрим операцию вычитания для A и B из примера 2.13. Тогда из уравнений

,

получим

Далее из соотношений

следует, что для всех z имеем

т.е.

что совпадает с результатом примера 2.13, полученным прямым методом.

Пример 2.31. Рассмотрим операцию умножения для A и B из примера 2.20. В этом случае имеем

,

откуда

В нашем случае

.

Таким образом, для всех z>0 имеем

,

т.е.

,

что совпадает с результатом примера 2.20, полученным прямым методом.

Пример 2.32. Рассмотрим еще операцию умножения для A и B из примера 2.28 при условии, что . В этом случае имеем

,

откуда, обозначая , получим уравнение

,

решения которого имеют вид

.

Следовательно,

.

Учитывая условие , получаем

.

Очевидно, что решение уравнения

дает тот же результат.

Пример 2.33. Рассмотрим операцию деления для A и B из примера 2.23. Из уравнений

,

имеем

В этом случае

Для решения достаточно одного уравнения. Следовательно,

,

откуда

,

т.е.

.

При a=4 и b=2

,

что совпадает с результатом примера 2.23, полученным прямым методом.

Пример 2.34. Для A и B из примера 2.32 найдем F- величину A/B. В этом случае

,

Для решения достаточно одного уравнения. Следовательно, имеем

,

откуда

,

т.е.

.

Этот же результат был получен прямым методом в примере 2.24 (3-е следствие).

Алгебраические операции второго типа. Обратный метод решения задачи

заключается в следующем. Уравнение

описывает линию уровня функции в плоскости (х,у). Пусть - выпуклая F-величина, т.е. для любой точки (х,у) из области, ограниченной линией уровня, выполняется неравенство

.

Тогда очевидно, что если кривая, описываемая уравнением

.

Касается границы данной области, то

. (2.58)

Следовательно, если установлена функциональная зависимость , в которой z и t удовлетворяют (2.58), то

.

Пример 2.35 . Пусть A и B из примера 2.12 найдем F-величину A+B. Уравнение линии уровня в этом случае имеет вид

, (2.59)

а уравнение связи

,

которое описывает линию уровня функции при некотором фиксированном . В данном случае существуют две точки касания: и . Поскольку вектор-градиент

в любой точке на прямой и, кроме того, в имеет одно направление с , а в - противоположные, то тангенс угла наклона вектора-градиента в точках касания равен единице. Поскольку

,

то, следовательно,

,

где - некоторая точка касания. С учетом (2.59) имеем

,

.

Подставляя (или ) в уравнение связи, получаем

,

откуда

.

Этот же результат был получен прямым методом в примере 2.17.

Рассмотренные аналитические методы построения функции принадлежности позволяют получить результат операции сразу в аналитическом виде, что очень удобно для практических приложений. Однако на практике могут встречаться более сложные аналитические выражения для исходных F-величин, для которых имеются значительные трудности при нахождении аналитического решения. К тому же, иногда возникает необходимость в численных методах работы с дискретно заданными F-функциями. В этом случае F -величинаA°B также будет дискретной. Для практических приложений этого, как правило, вполне достаточно. При необходимости полученное решение можно аппроксимировать некоторой функциональной зависимостью.

[К предыдущей главе].....[К содержанию] ......[К следующей главе]