2.6. Численные методы для операций с F- величинами

Будем рассматривать те F-величины из , для которых F-функция достигает на носителе своей верхней грани.

Прямой метод

Для F -величин

при заданном числовом значении z₀, найти величину , определяемую соотношением (2.3). Если °- есть операция деления, то 0 [c, d]. Обозначим

l= min(a °c, b° c, a° d, b° d), m= max(a° c, b° c, a ° d, b°d).

Тогда , т.е. достаточно рассматривать z₀ из [l, m] . С помощью замены переменных из уравнения связи (2.3) сводится к одномерной экстремальной задаче. Рассмотрим каждую операцию в отдельности.

Сложение. Уравнение связи имеет вид x+y=z ₀,

т.е. одномерная задача записывается следующим образом

(2.60)

Поскольку откуда то получаем

(2.61)

Вычитание. С учетом уравнения связи x-y=z₀, одномерная задача запишется в виде

(2.62)

Из неравенств получаем, что (2.63)

Деление. С учетом уравнения связи x/y=z₀, одномерная задача запишется в виде

(2.64)

Поскольку y [c, d], то c x/z₀d . Отсюда, если z₀ 0, то z₀ c xz₀ d и, если z₀<0, то z₀ d xc. Окончательно, с учетом неравенства получаем:

если z₀ 0, то (2.65)

если z₀<0, то (2.66)

Умножение. С учетом уравнения связи xy=z₀, одномерная задача запишется в виде

(2.67)

Поскольку y [c, d] , то cz₀/xd. Воспользуемся следующими свойствами неравенств: если 0<mn или mn<0, то 1/m 1/n . Рассмотрим два случая.

1. Пусть B или B. Тогда 1/d x/z ₀1/c. Если z₀0, то z₀ /d xz ₀ /c, а если z₀ <0, то z₀ /c xz₀ /d. C учетом неравенства получаем:

(2.68)

(2.69)

2. Пусть 0 [c, d]. Если x 0, то xcz ₀, xd z ₀ или, с учетом знаков величин c и d, получим: x z₀ /c, x z₀ /d. Следовательно, если z₀0, то x z ₀ /d, а если z₀ <0, то x z₀ /c. Аналогично, при x<0 получим: если z₀0 , то xz₀ /с, а если z ₀ <0, то x z₀ /d . Окончательно, с учетом неравенства имеем:

(2.70)

(2.71)

Если, например, A , то

(2.72)

(2.73)

В практических приложениях чаще всего A,B. В этом случае множество Uопределяется по (2.68).

Пусть , где - зависимость, полученная из уравнения связи . Для операции умножения установлено, что если 0 (a, b) и 0 (c, d), то F-величина AB(z₀ ) с функцией принадлежности может быть невыпуклой, но являться объединением выпуклых F-величин.

Пример 2.36. Пусть , . Тогда .

Например, и

- невыпуклая, но является объединением выпуклых F -величин.

Методы решения одномерных экстремальных задач достаточно подробно освещены в специальной литературе [41, 71, 163, 233], поэтому мы не будем касаться этого вопроса.

Обратный метод

Обратный численный метод нахождения результатов алгебраических операций первого типа для F -величин из основывается на следствии теоремы 2.8, т.е. на соотношении (2.57).

Пусть Зададим, например, равномерное разбиение отрезка [0, a U b ]:

(2.74)

Тогда из решения уравнений

(2.75)

получим

откуда

(2.76)

Таким образом, получаем дискретное представлениеF-величины C:

(2.77)

где значение принадлежит исходному разбиению (2.74).

Эффективность реализации данного метода во многом определяется возможностью решения уравнений (2.75). Можно предложить следующий подход. Выбирается некоторый базовый набор F -величин, для которых уравнения (2.75) решаются достаточно просто (аналитически или численно). Кроме того, необходимо, чтобы с помощью теоретико-множественных операций над элементами данного набора можно было бы с достаточной точностью представить широкий класс F-величин. При этом важную роль в реализации данного подхода играет принцип декомпозиции. Обратный численный метод является наиболее удобным из всех алгебраических и численных методов, приведенных выше.

Матричные методы

Для решения характерных для практики задач большой размерности необходимо использовать методы, обеспечивающие высокую скорость решения задач оперативного контроля и управления в реальном масштабе времени. Такие методы могут быть созданы на основе учета особенностей структуры элементов - матрицы, представляющей из себя результирующую матрицу для операции сложения в условиях, когда функция принадлежности представлена l нечеткими дискретизированными величинами вида

.

Пример такой матрицы для l = 2 приведен в таблице 2.1.

Исходные функции принадлежности располагаются в левом столбце и верхней строке матрицы. Элементами этой матрицы являются дискретные нечеткие величины

, где ; .

Эта матрица получена для равномерной дискретизации по х. Анализ структуры этой матрицы позволил разработать для операции сложения метод построения результирующей функции принадлежности. Этот метод применим для выпуклых функций принадлежности, и в результате операции получается также выпуклая результирующая функция (теорема 2.7).

Программа построения результата операции сложения для l - функций принадлежности приведена в [39]. Процедура построения результирующей функции начинается с элемента и заканчивается элементом . Для элемента проводится анализ соседних с ним элементов и и выбирается результирующий элемент имеющий максимальное значение функции принадлежности. Далее процедура повторяется для вновь выбранного элемента. Для операции вычитания также может быть применен этот алгоритм, но начинается он с элемента и заканчивается элементом , соответственно изменяется и процедура изменения индексов для определения соседних элементов. Однако построить аналогичные алгоритмы поиска решений для операций умножения и деления в общем случае не удается.

Таблица 2.1.

Матрица принятия решения для двух подсистем

В результате проведенного анализа структуры результирующей матрицы было выяснено, что она не содержит в полном объеме информации, необходимой для достаточно точного построения результирующей дискретизированной функции принадлежности для всех операций.

Поэтому был разработан новый матричный метод, применимый ко всем арифметическим операциям. Он основан на дискретизации не по парамеру х, а по значениям функции принадлежности - по r-уровням.

Пример матрицы с такой дискретизацией приведен в табл. 2.2.

В этой матрице две исходные функции принадлежности размещены также как и раньше - в левом столбце и верхней строке. В каждой клетке матрицы в числителе записан результат операции . В знаменателе размещены результаты для операции сложения .

p>p>Для выпуклых функций принадлежности, изменяющихся на носителе от 0 до 1, результирующая матрица имеет очень интересную структуру. В этой матрице четко выделяются так называемые иннеры [346] - концентрические внутренние квадратные подматрицы с одинаковым для всей подматрицы значением функции принадлежности. Первый иннер есть одноэлементная матрица с , т.е. скаляр.

Таблица 2.2.

Матрица для двух подсистем по r-уровням

Учитывая следствие теоремы 2.8, а также особенности интервальных операций (2.76), можно легко показать, что решения для результирующей функции располагаются в зависимости от вида операции на одной из диагоналей матрицы: для сложения и умножения на диагонали А, которая проходит из левого верхнего угла в правый нижний угол, для вычитания и деления - на другой диагонали В. В алгоритме рассмотрены также и все возможные варианты - наличие отрицательных нечетких величин, принадлежность 0 к носителям нечетких величин и т.д.

Интересно также отметить, что на диагоналях можно получить не только поточечные, но и алгебраические решения [103], т.е. такие функции принадлежности, которые при подстановке в исходное уравнение позволяют обеспечить равенство левой и правой части, а не только включение. Так, например, для операции деления поточечное решение лежит на диагонали В, а алгебраическое - на диагонали А. Этот факт полностью соответствует специальным дополнительным операциям вводимым в интервальном анализе [247] и теории нечетких множеств.

Для реализации нечетких алгоритмов можно с успехом использовать пакеты программ и ЭВМ, в которых реализована интервальная арифметика, что связано с возможностью представления F-величин через совокупность ее r-уровней и на следствии теоремы 2.8.

Методы расчета с применением интервальной арифметики в настоящее время развиваются очень интенсивно [8, 48, 247, 276, 304, 323, 324]. Уже существуют ЭВМ, в которых интервальная арифметика реализована аппаратно или микропрограммно [324], а для универсальных ЭВМ разработан целый ряд пакетов программ для нечетких и интервальных величин FUZZY, FUZZYC, ФСТДС, FAGOL, ЛПЛ, ACFITH, PASCAL-SC [6, 247, 304, 324]. Первые два пакета позволяют работать лишь с дискретными нечеткими величинами. Для проведения нечетких теоретико-множественных операций можно также использовать систему FSTDS (Fuzzy Sets Theoretic Data Structured), FLOU (Fuzzy Language of Osaca University) [8].

Основная сложность при работе с нечеткими величинами заключается в том, что даже в случае простейших исходных функций принадлежности в результате элементарных операций над ними получаются функции принадлежности сложной формы, требующие для своего описания большого числа параметров. Поэтому во многих работах [65, 98, 265, 266, 268] предлагается аппроксимировать исходные функции принадлежности и результаты операций над ними определенным классом функций, зависящих от фиксированного числа параметров: треугольных, экспоненциальных, трапециевидных и т.д. В этом случае имеется возможность построения сравнительно простых основных операций, не выводящих за пределы избранного класса функций [265].

Нечеткое числоLR-типа. Нечеткое число называется нечетким числом LR-типа или LR-числом [266, 267, 268], если

где L и R - две непрерывные неотрицательные функции: ; , где R - вещественная ось со следующими свойствами:

1. , .

2. , .

3. L, R не возрастают на [0, +].

4. , .

Таким образом, нечеткое число LR-типа характеризуется видом функций L и R, а также тремя параметрами и может быть записано как .

Для нечетких LR-чисел арифметические операции записываются гораздо проще [268]:

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Формулы для операций умножения и деления зависят от знаков операндов, при этом носители обоих операторов не должны содержать ноль.

Анализ влияния степени и вида нечеткости параметров для нескольких типов функций принадлежности для представления нечетких чисел на чувствительность целевой функции оптимизации проведен в работе [312]. Попытки создания универсальных высоко транспортабельных структурированных пакетов программ для выполнения интервальных вычислений на базе предпроцессора AUGMENT привели к резкому увеличению времени выполнения операций по сравнению с традиционными (неинтервальными) вычислениями на тех же примитивных объектах (числах с плавающей точкой фиксированной разрядности) в зависимости от различных условий в 50-200 раз [8]. Наибольшая эффективность достигнута в экспериментах с микропрограммным способом интерпретации для процессора РDР -11/40Е, что позволило уменьшить коэффициент замедления до 1,8. В 1985 году в США принят стандарт Р754 по вопросам реализации интервальных вычислений, который в настоящее время практически стал международным. По этому стандарту работают, например, микропроцессоры INTEL - 8087 (фирма INTEL), МС 68881 (фирма Motorola), WE 32106 (разработка BELL Labs) и т.д. [8].

Оригинальное расширение стандартного языка программирования для возможности работы с нечеткими величинами путем введения переменных типа FUZZY приведено в работе [65]. Язык FAGOL позволяет оперировать с нечеткими величинами при аппроксимации их F -функций треугольными функциями принадлежности.

Ведутся также работы по созданию лингвистических терминальных комплексов, состоящих из универсальных микропроцессоров; ОЗУ, спецпроцессоров, ориентированных на выполнение операций над нечеткими множествами; ПЗУ-термов, предназначенных для хранения первичных терм-значений лингвистических переменных и других устройств [152].

Однако все эти методы используют аппроксимацию результирующих функций принадлежности определенным классом функций, что ведет к потере информации и увеличению области неопределенности.

[К предыдущей главе].....[К содержанию] ......[К следующей главе]