3.2. Особенности решения нечетких и интервальных уравнений

Многие расчетные и оптимизационные задачи в условиях неопределенности приводят к необходимости решения уравнений с нечеткими или интервальными коэффициентами и переменными. К особенностям нечеткой и интервальной алгебры следует отнести нарушение закона дистрибутивности

и кроме того .

Эти особенности создают значительные трудности при решении F -уравнений, поскольку их нельзя упростить путем эквивалентных преобразований. В ряде работ предлагаются методы частичного решения этой проблемы: "дополнительные" операции в [7], использование квазилинейного пространства [247], мнимые интервалы [243], нестандартные вычитание и деление [109], обобщенная и сегментная интервальные арифметики [109].

Одним из возможных путей решения этой проблемы является введение понятия мнимого интервала. В силу следствия теоремы 2.8 все определения вводятся для интервалов вещественной оси, т.е. для пространства I(R) с интервальными операциями.

Если интервал , то сопряженным интервалом по отношению к называют мнимый интервал. Множество мнимых интервалов обозначим через I*(R). Для перехода к сопряженному интервалу справедливы следующие соотношения:

Алгебраические операции над сопряженными интервалами определяются следующим образом [243]. Если то, согласно (2.76):

Тогда для сопряженных интервалов , вводятся следующие соотношения:

,,

Например, если , то . Следовательно, , и .

С использованием введенных понятий решение линейного уравнения

записывается в виде . Для уравнения получаем .

Решениями таких уравнений могут быть и мнимые интервальные величины. В общем случае решение линейного уравнения

(3.49)

имеет вид .

Можно также показать, что если, то при замене нескольких или всех полученный результат .

Рассмотрим следующее обобщение для решения нечетких уравнений с использованием понятий сопряженного интервала и интервально-значного нечеткого множества.

Интервально-значное нечеткое множество (i-v нечеткое множество) А, определенное на множестве Х, задается в виде [281]:

,

Интервально-значную функцию принадлежности можно записать в виде

.

Пример интервально-значной функции принадлежности приведен на рис. 3.4. Различные операции с i-v нечеткими множествами могут выполняться аналогично соответствующим операциям нечетких множеств для нижних и верхних граничных функций принадлежности [149].

Обобщение для решения нечетких линейных уравнений типа (3.49) состоит в том, что для каждого r -уровня исходных F-функций находится интервальное решение с помощью обычной интервальной арифметики и решение с использованием сопряженных интервалов. Таким образом, решение нечеткого уравнения получаем в виде интервально-значной функции принадлежности .

Пример 3.11. Рассмотрим решение уравнения . Пусть коэффициенты уравнения заданы треугольными F-функциями (рис. 3.3).

Рис 3.3.

Для носителей исходных F-множеств , находим интервальное решение

с помощью обычной интервальной арифметики и решение

с использованием сопряженных интервалов.

Аналогично поступаем для каждого r -уровня исходных F-функций. В результате получаем интервально-значную функцию принадлежности (рис. 3.4).

Рис 3.4.

Используя отношение порядка на множестве [109], можно сказать, что для произвольного r-уровня соотношение дает четкое множество в виде интервала , определяемого функцией . С другой стороны, функция определяет для выбранного r -уровня расширенный интервал .

Рис 3.5.

Вводя далее линейное предпочтение для элементов , не включенных в , можно интерпретировать r -уровневое множество для интервально-значной функции принадлежности в виде нечеткого множества первого типа. Пример такого множества для носителей представлен на рис. 3.5.

Подобная интерпретация решения нечетких и интервальных уравнений позволяет более адекватно учитывать имеющуюся неопределенность постановки задачи физический смысл исследуемой модели.

[К предыдущей главе].....[К содержанию] ......[К следующей главе]